Длина дуги окружности, которая соответствует углу в 240°, равна 24 см. Найдите:

1. радиус окружности;
2. площадь сектора с углом 240°;
3. площадь сегмента с углом 240°.

Алгебра 11 класс Геометрия окружности длина дуги окружности угол 240 градусов радиус окружности площадь сектора площадь сегмента Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Найдем радиус окружности.

Длина дуги окружности (L) связана с радиусом (r) и углом (α) в градусах по формуле:

L = (α/360) * 2 * π * r

В нашей задаче:

• L = 24 см
• α = 240°

Подставим известные значения в формулу:

24 = (240/360) * 2 * π * r

Сначала упростим дробь:

240/360 = 2/3

Теперь подставим это значение в уравнение:

24 = (2/3) * 2 * π * r

24 = (4/3) * π * r

Теперь выразим радиус r:

r = (24 * 3) / (4 * π)

r = 72 / (4 * π)

r = 18 / π

Таким образом, радиус окружности равен 18/π см, что примерно равно 5.73 см.

2. Найдем площадь сектора с углом 240°.

Площадь сектора (S) также может быть найдена по формуле:

S = (α/360) * π * r²

Подставим известные значения:

S = (240/360) * π * (18/π)²

Упрощаем:

S = (2/3) * π * (324/π²)

S = (2/3) * (324/π)

S = 216/π

Таким образом, площадь сектора равна 216/π см², что примерно равно 68.75 см².

3. Найдем площадь сегмента с углом 240°.

Площадь сегмента (Sg) можно найти как разницу между площадью сектора и площадью треугольника, образованного радиусами и дугой.

Сначала найдем площадь треугольника:

Площадь треугольника (St) можно найти по формуле:

St = (1/2) * r * r * sin(α)

Подставим значения:

St = (1/2) * (18/π) * (18/π) * sin(240°)

Значение sin(240°) = -√3/2 (так как угол находится в третьем квадранте, и синус отрицательный). Однако, мы используем модуль, так как площадь не может быть отрицательной:

St = (1/2) * (18/π) * (18/π) * (√3/2)

St = (162√3)/(4π²)

Теперь найдем площадь сегмента:

Sg = S - St

Sg = (216/π) - (162√3)/(4π²)

Таким образом, площадь сегмента с углом 240° равна:

Sg = (216/π) - (162√3)/(4π²) см².

Это и есть ответ на вашу задачу! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!