Чтобы доказать, что число n^4 + 4 является составным для всех натуральных значений n, превышающих 1, мы можем воспользоваться некоторыми алгебраическими преобразованиями.

Начнем с того, что мы можем переписать выражение n^4 + 4 следующим образом:

• Добавим и вычтем 4n^2:

Таким образом, мы можем записать:

n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2 = (n^4 + 4n^2 + 4) - 4n^2

Теперь заметим, что выражение n^4 + 4n^2 + 4 является полным квадратом:

(n^2 + 2)^2 = n^4 + 4n^2 + 4

Теперь мы можем переписать исходное выражение:

n^4 + 4 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2

Это выражение можно представить в виде разности квадратов:

(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b), где a = (n^2 + 2) и b = 2n.

Таким образом, мы получаем:

n^4 + 4 = [(n^2 + 2) - 2n][(n^2 + 2) + 2n]

Теперь упростим каждую из скобок:

• Первая скобка: (n^2 + 2) - 2n = n^2 - 2n + 2
• Вторая скобка: (n^2 + 2) + 2n = n^2 + 2n + 2

Теперь у нас есть два множителя:

n^4 + 4 = (n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)

Теперь нам нужно показать, что оба множителя являются натуральными числами и больше 1 для n > 1.

1. Рассмотрим первый множитель:

• n^2 - 2n + 2
• При n = 2: 2^2 - 2*2 + 2 = 2 (натуральное число)
• При n = 3: 3^2 - 2*3 + 2 = 5 (натуральное число)
• При n = 4: 4^2 - 2*4 + 2 = 10 (натуральное число)
• При n > 2: выражение всегда будет положительным, так как n^2 - 2n + 2 > 0.

2. Рассмотрим второй множитель:

• n^2 + 2n + 2
• При n = 2: 2^2 + 2*2 + 2 = 10 (натуральное число)
• При n = 3: 3^2 + 2*3 + 2 = 17 (натуральное число)
• При n = 4: 4^2 + 2*4 + 2 = 26 (натуральное число)
• При n > 1: выражение всегда будет положительным.

Таким образом, оба множителя являются натуральными числами и больше 1 для всех n > 1. Это значит, что n^4 + 4 является произведением двух натуральных чисел, больших 1, следовательно, n^4 + 4 является составным числом.

Вывод: Мы доказали, что n^4 + 4 является составным для всех натуральных значений n, превышающих 1.