Докажите, что для любого n, принадлежащего множеству натуральных чисел, значение следующего выражения является целым числом:

(10^n + 7199) / 9

Алгебра 11 класс Делимость и целые числа алгебра 11 класс доказательство целого числа выражение 10^n + 7199 деление на 9 натуральные числа свойства деления целые числа в алгебре Новый

Для доказательства того, что выражение (10^n + 7199) / 9 является целым числом для любого натурального числа n, мы можем воспользоваться свойствами делимости и некоторыми алгебраическими преобразованиями. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Рассмотрим выражение 10^n + 7199.

   Для начала, заметим, что 10^n – это 1, за которым следуют n нулей. Например:

   • 10^1 = 10
   • 10^2 = 100
   • 10^3 = 1000

   Таким образом, 10^n всегда заканчивается на 0.

2. Теперь рассмотрим число 7199.

   Проверим, как 7199 делится на 9. Для этого воспользуемся правилом делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

   Сумма цифр числа 7199:

   • 7 + 1 + 9 + 9 = 26

   Теперь находим 26 мод 9:

   • 26 = 9 * 2 + 8, значит 26 mod 9 = 8.

   Это означает, что 7199 не делится на 9, но дает остаток 8 при делении на 9.

3. Теперь рассмотрим выражение 10^n + 7199.

   Поскольку 10^n заканчивается на 0, то при делении на 9 оно также будет давать определенный остаток.

   Теперь найдем 10^n mod 9:

   • 10 mod 9 = 1, значит 10^n mod 9 = 1^n mod 9 = 1.

   Таким образом, 10^n также дает остаток 1 при делении на 9.

4. Теперь можем сложить остатки:

   Суммируем остатки от деления:

   • Остаток от 10^n = 1
   • Остаток от 7199 = 8

   Таким образом:

   • (10^n + 7199) mod 9 = (1 + 8) mod 9 = 9 mod 9 = 0.

   Это означает, что 10^n + 7199 делится на 9 без остатка.

5. Заключение:

   Так как (10^n + 7199) делится на 9, то выражение (10^n + 7199) / 9 является целым числом для любого натурального n.

Таким образом, мы доказали, что для любого n, принадлежащего множеству натуральных чисел, значение выражения (10^n + 7199) / 9 является целым числом.