Докажите, что квадрат любого числа, увеличенный на 1, не делится на три.

Алгебра 11 класс Делимость алгебра 11 класс квадрат числа доказательство Делимость не делится на три математическое доказательство свойства квадратов числа арифметика Новый

Рассмотрим любое целое число n. Квадрат этого числа можно записать как n^2. Мы хотим доказать, что n^2 + 1 не делится на 3.

Для этого рассмотрим возможные остатки от деления n на 3:

• Если n ≡ 0 (mod 3): n^2 ≡ 0^2 ≡ 0 (mod 3), тогда n^2 + 1 ≡ 0 + 1 ≡ 1 (mod 3).
• Если n ≡ 1 (mod 3): n^2 ≡ 1^2 ≡ 1 (mod 3), тогда n^2 + 1 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 3).
• Если n ≡ 2 (mod 3): n^2 ≡ 2^2 ≡ 4 ≡ 1 (mod 3), тогда n^2 + 1 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 3).

Во всех случаях n^2 + 1 не дает остатка 0 при делении на 3. Таким образом, квадрат любого числа, увеличенный на 1, не делится на три.