Докажите, что выражение 3x^6+(2+4x^2)^2-4 не может иметь отрицательное значение.

Алгебра 11 класс Неравенства и экстремумы многочленов алгебра 11 класс доказательство выражения неотрицательное значение квадратное выражение анализ функции Новый

Для доказательства того, что выражение 3x^6 + (2 + 4x^2)^2 - 4 не может принимать отрицательные значения, рассмотрим его по частям.

1. Первая часть выражения, 3x^6, является кубом переменной x, умноженным на 3. Поскольку x^6 всегда неотрицательно (все четные степени переменной не могут быть отрицательными), то и 3x^6 также неотрицательно. То есть:

• 3x^6 >= 0 для любого x.

2. Теперь рассмотрим вторую часть выражения, (2 + 4x^2)^2. Это квадрат суммы, где 4x^2 также неотрицательно, так как является квадратом переменной, умноженным на 4. Следовательно, 2 + 4x^2 всегда больше или равно 2:

• 2 + 4x^2 >= 2 для любого x.

Таким образом, квадрат этой суммы (2 + 4x^2)^2 также всегда неотрицателен:

• (2 + 4x^2)^2 >= 0 для любого x.

3. Теперь объединим обе части выражения:

Таким образом, мы можем записать:

• 3x^6 + (2 + 4x^2)^2 >= 0 + 0 = 0.

4. Теперь вернемся к исходному выражению 3x^6 + (2 + 4x^2)^2 - 4. Мы можем записать:

• 3x^6 + (2 + 4x^2)^2 - 4 >= 0 - 4 = -4.

5. Однако, чтобы доказать, что данное выражение не может быть отрицательным, нужно проверить, когда оно может быть равно нулю:

• 3x^6 + (2 + 4x^2)^2 = 4.

6. Рассмотрим случай, когда 3x^6 + (2 + 4x^2)^2 = 4. Это возможно в случае, если 3x^6 = 0 и (2 + 4x^2)^2 = 4. Первое равенство выполняется, когда x = 0. Подставим x = 0 во второе равенство:

• (2 + 4*0^2)^2 = (2)^2 = 4.

7. Таким образом, при x = 0 выражение принимает значение 0:

• 3*0^6 + (2 + 4*0^2)^2 - 4 = 0.

8. В остальных случаях, когда x != 0, 3x^6 и (2 + 4x^2)^2 будут увеличивать значение выражения, что сделает его положительным.

Таким образом, мы можем заключить, что 3x^6 + (2 + 4x^2)^2 - 4 не может иметь отрицательное значение, так как оно равно нулю только в одной точке (x = 0) и положительно для всех остальных значений x.