Чтобы определить промежутки, где функция возрастает, нам нужно проанализировать производную функции f'(x). Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна (f'(x) > 0).

Дано, что производная f'(x) равна:

f'(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 1)

Теперь найдем нули производной, то есть точки, в которых f'(x) = 0:

• x - 2 = 0 → x = 2
• x + 3 = 0 → x = -3
• x - 1 = 0 → x = 1

Таким образом, нули производной находятся в точках x = -3, x = 1 и x = 2. Эти точки делят числовую прямую на несколько промежутков:

• (-∞, -3)
• (-3, 1)
• (1, 2)
• (2, +∞)

Теперь мы должны определить знак производной на каждом из этих промежутков. Для этого выберем тестовые точки:

• Для промежутка (-∞, -3) возьмем точку x = -4:
• f'(-4) = (-4 - 2)(-4 + 3)(-4 - 1) = (-6)(-1)(-5) = -30 (отрицательное)
• Для промежутка (-3, 1) возьмем точку x = 0:
• f'(0) = (0 - 2)(0 + 3)(0 - 1) = (-2)(3)(-1) = 6 (положительное)
• Для промежутка (1, 2) возьмем точку x = 1.5:
• f'(1.5) = (1.5 - 2)(1.5 + 3)(1.5 - 1) = (-0.5)(4.5)(0.5) = -1.125 (отрицательное)
• Для промежутка (2, +∞) возьмем точку x = 3:
• f'(3) = (3 - 2)(3 + 3)(3 - 1) = (1)(6)(2) = 12 (положительное)

Теперь мы можем подвести итоги:

• На промежутке (-∞, -3) производная отрицательна: функция убывает.
• На промежутке (-3, 1) производная положительна: функция возрастает.
• На промежутке (1, 2) производная отрицательна: функция убывает.
• На промежутке (2, +∞) производная положительна: функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках:

• (-3, 1)
• (2, +∞)