Изучите функцию y=x^3-3x^2+1 и нарисуйте ее график.

Алгебра 11 класс Исследование функций и графики функция y=x^3-3x^2+1 график функции алгебра изучение функций построение графиков Новый

Давайте изучим функцию y = x^3 - 3x^2 + 1 и нарисуем ее график. Для начала, мы можем определить важные характеристики этой функции, такие как нули функции, экстремумы и поведение на бесконечности.

Шаг 1: Нахождение нулей функции

Чтобы найти нули функции, мы решим уравнение:

y = 0, то есть x^3 - 3x^2 + 1 = 0.

Для этого можно использовать метод проб и ошибок или численные методы. Однако, для начала попробуем подставить некоторые значения:

• x = 0: y = 0^3 - 3*0^2 + 1 = 1 (не ноль)
• x = 1: y = 1^3 - 3*1^2 + 1 = -1 (не ноль)
• x = 2: y = 2^3 - 3*2^2 + 1 = 1 (не ноль)
• x = -1: y = (-1)^3 - 3*(-1)^2 + 1 = -3 (не ноль)
• x = -2: y = (-2)^3 - 3*(-2)^2 + 1 = -9 (не ноль)

Мы видим, что функция меняет знак между x = 1 и x = 2. Это значит, что где-то между этими значениями есть корень. Мы можем использовать метод деления пополам или численные методы для нахождения корней более точно.

Шаг 2: Нахождение производной для поиска экстремумов

Теперь найдем производную функции:

y' = 3x^2 - 6x.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

3x^2 - 6x = 0.

Факторизуем:

3x(x - 2) = 0.

Таким образом, у нас есть два критических значения: x = 0 и x = 2.

Шаг 3: Определение типа экстремумов

Теперь определим, являются ли эти точки максимумами или минимумами, исследуя знак производной:

• Для x < 0: y' > 0 (функция возрастает)
• Для 0 < x < 2: y' < 0 (функция убывает)
• Для x > 2: y' > 0 (функция снова возрастает)

Это значит, что x = 0 - это максимум, а x = 2 - минимум.

Шаг 4: Поведение на бесконечности

Теперь рассмотрим поведение функции на бесконечности:

• При x → -∞, y → -∞.
• При x → +∞, y → +∞.

Шаг 5: Построение графика

Теперь, имея информацию о нулях, экстремумах и поведении на бесконечности, можно построить график функции. Мы знаем, что:

• Функция имеет один максимум при x = 0.
• Функция имеет один минимум при x = 2.
• Функция пересекает ось y в точке (0, 1).

Таким образом, график будет иметь форму, похожую на букву "S", начиная с -∞, достигая максимума, затем убывая до минимума и снова возрастая до +∞.

Вы можете использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения графика, чтобы визуализировать его. Удачи в изучении!