Как быстро решить интегралы (2+3х^4)х^3 × dx и ^4√(9-4x)^3 × dx методом замены переменной?

Алгебра 11 класс Интегралы и методы их решения решение интегралов замена переменной интегралы алгебра 11 интегралы с переменной алгебра 11 класс Новый

Для решения интегралов методом замены переменной, давайте рассмотрим каждый из них по отдельности.

1. Интеграл (2 + 3x^4)x^3 dx

Шаг 1: Упростим интеграл. Мы можем разложить его на два отдельных интеграла:

• ∫(2x^3) dx + ∫(3x^7) dx

Шаг 2: Найдем каждый из интегралов.

• Первый интеграл: ∫(2x^3) dx = (2/4)x^4 = (1/2)x^4 + C1
• Второй интеграл: ∫(3x^7) dx = (3/8)x^8 + C2

Шаг 3: Объединим результаты:

• ∫(2 + 3x^4)x^3 dx = (1/2)x^4 + (3/8)x^8 + C

2. Интеграл √(9 - 4x)^3 dx

Шаг 1: Сделаем замену переменной. Пусть u = 9 - 4x. Тогда, чтобы найти dx, мы дифференцируем u:

• du = -4 dx → dx = -du/4

Шаг 2: Подставим u в интеграл:

• ∫√(u^3)(-du/4) = -1/4 ∫u^(3/2) du

Шаг 3: Теперь найдем интеграл u^(3/2):

• ∫u^(3/2) du = (2/5)u^(5/2) + C

Шаг 4: Подставим обратно значение u:

• Итак, -1/4 * (2/5)(9 - 4x)^(5/2) + C = -1/10(9 - 4x)^(5/2) + C

Таким образом, мы получили результаты для обоих интегралов:

• ∫(2 + 3x^4)x^3 dx = (1/2)x^4 + (3/8)x^8 + C
• ∫√(9 - 4x)^3 dx = -1/10(9 - 4x)^(5/2) + C