Для исследования функции y(x) = 1 - e^(1/x) на непрерывность и установления вида разрывов, если они имеются, нам необходимо выполнить несколько шагов.

Функция e^(1/x) определена для всех x, кроме x = 0. Таким образом, область определения функции y(x) будет:

• x < 0
• x > 0

Функция не определена в точке x = 0, что указывает на возможный разрыв в этой точке.

Для понимания поведения функции вблизи точки разрыва (x = 0) нужно рассмотреть пределы функции при x, стремящемся к 0 с обеих сторон.

• Предел при x → 0-:

  Когда x стремится к 0 с отрицательной стороны (x < 0), 1/x стремится к -∞. Таким образом:

  lim (x → 0-) y(x) = 1 - e^(1/x) = 1 - e^(-∞) = 1 - 0 = 1.

• Предел при x → 0+:

  Когда x стремится к 0 с положительной стороны (x > 0), 1/x стремится к +∞. Таким образом:

  lim (x → 0+) y(x) = 1 - e^(1/x) = 1 - e^(+∞) = 1 - ∞ = -∞.

Сравнив пределы, мы видим, что:

• lim (x → 0-) y(x) = 1
• lim (x → 0+) y(x) = -∞

Так как эти пределы не равны, мы имеем разрыв первого рода (разрыв по значению) в точке x = 0.

Теперь мы можем описать поведение функции на графике:

• При x < 0, функция y(x) будет стремиться к 1, когда x приближается к 0.
• При x > 0, функция y(x) будет стремиться к -∞, когда x приближается к 0.
• На интервале (-∞, 0) функция будет убывать, а на интервале (0, +∞) также убывать, но с разным поведением вблизи нуля.

График функции будет выглядеть следующим образом:

• Слева от оси y (x < 0) график будет находиться близко к y = 1, но не будет пересекать эту линию.
• Справа от оси y (x > 0) график будет уходить вниз к -∞.

Таким образом, мы исследовали функцию y(x) = 1 - e^(1/x) на непрерывность и установили, что в точке x = 0 имеется разрыв первого рода.