Для доказательства утверждения о том, что 5 в степени k делится на 3 с остатком 1, если k четное, и с остатком 2, если k нечетное, мы можем использовать метод математической индукции и свойства модульной арифметики.

Шаг 1: Исследуем остатки 5 в степени k по модулю 3.

Сначала найдем остатки от деления 5 на 3:

• 5 делится на 3 с остатком 2, то есть 5 ≡ 2 (mod 3).

Теперь, используя это свойство, мы можем рассмотреть различные степени 5:

• 5^1 ≡ 2 (mod 3)
• 5^2 = 25 ≡ 1 (mod 3) (поскольку 25 делится на 3 с остатком 1)
• 5^3 = 125 ≡ 2 (mod 3) (так как 125 = 5 * 25, а 25 ≡ 1 (mod 3))
• 5^4 = 625 ≡ 1 (mod 3) (аналогично, 625 = 5 * 125, а 125 ≡ 2 (mod 3))

Обратите внимание, что остатки повторяются каждые два шага:

• k четное: 5^k ≡ 1 (mod 3)
• k нечетное: 5^k ≡ 2 (mod 3)

Шаг 2: Формулируем вывод.

Таким образом, мы можем сделать вывод:

• Если k четное, то 5^k ≡ 1 (mod 3), что означает, что 5^k делится на 3 с остатком 1.
• Если k нечетное, то 5^k ≡ 2 (mod 3), что означает, что 5^k делится на 3 с остатком 2.

Заключение:

Мы доказали, что 5 в степени k делится на 3 с остатком 1, если k четное, и с остатком 2, если k нечетное, используя свойства модульной арифметики и наблюдая за остатками при возведении 5 в различные степени.