Как можно доказать, что для любого значения b:

1. выражение (b-4)(2b+1)+7(b+1) всегда будет положительным;
2. выражение 5b(2-b)-(b+1)(b+9) всегда будет отрицательным?

Алгебра 11 класс Неравенства и знаковые выражения доказательство алгебра выражение всегда положительное выражение всегда отрицательное алгебра 11 класс неравенства алгебры свойства алгебраических выражений Новый

Давайте разберем каждое из выражений по отдельности и попробуем доказать их свойства.

1. Доказательство, что (b-4)(2b+1)+7(b+1) всегда положительно:

Сначала упростим выражение:

• Раскроем скобки в первом слагаемом:
• (b-4)(2b+1) = 2b^2 + b - 8b - 4 = 2b^2 - 7b - 4.
• Теперь раскроем второе слагаемое:
• 7(b+1) = 7b + 7.
• Теперь сложим оба слагаемых:

2b^2 - 7b - 4 + 7b + 7 = 2b^2 + 3.

Теперь у нас есть выражение 2b^2 + 3. Это квадратное выражение, где:

• Коэффициент перед b^2 равен 2 (положительное число).
• Константа равна 3 (положительное число).

Поскольку квадратное выражение 2b^2 + 3 не имеет действительных корней (дискриминант D = 0^2 - 4*2*3 < 0), оно всегда положительно для любого значения b.

2. Доказательство, что 5b(2-b)-(b+1)(b+9) всегда отрицательно:

Теперь упростим второе выражение:

• Раскроем скобки в первом слагаемом:
• 5b(2-b) = 10b - 5b^2.
• Раскроем второе слагаемое:
• (b+1)(b+9) = b^2 + 9b + b + 9 = b^2 + 10b + 9.

Теперь сложим оба слагаемых:

10b - 5b^2 - (b^2 + 10b + 9) = 10b - 5b^2 - b^2 - 10b - 9 = -6b^2 - 9.

Теперь у нас есть выражение -6b^2 - 9. Это квадратное выражение, где:

• Коэффициент перед b^2 равен -6 (отрицательное число).
• Константа равна -9 (отрицательное число).

Поскольку коэффициент при b^2 отрицательный, это означает, что парабола, соответствующая этому выражению, открыта вниз. Таким образом, максимальное значение выражения -6b^2 - 9 будет меньше нуля, и оно всегда отрицательно для любого значения b.

Таким образом, мы доказали, что:

• (b-4)(2b+1)+7(b+1) всегда положительно;
• 5b(2-b)-(b+1)(b+9) всегда отрицательно.