Как можно доказать, что две прямые y = k1x и y = k2x являются перпендикулярными, если произведение их угловых коэффициентов k1 и k2 равно -1? Пожалуйста, без использования векторов и неопределённости.

Алгебра 11 класс Угловые коэффициенты прямых доказательство перпендикулярности прямых угловые коэффициенты свойства прямых алгебра 11 класс геометрия прямых Новый

Чтобы доказать, что две прямые y = k1x и y = k2x являются перпендикулярными, если произведение их угловых коэффициентов k1 и k2 равно -1, давайте разберем это шаг за шагом.

Шаг 1: Определение угловых коэффициентов

Угловой коэффициент прямой (k) определяет наклон этой прямой относительно оси абсцисс (оси x). Прямая y = k1x имеет угловой коэффициент k1, а прямая y = k2x имеет угловой коэффициент k2.

Шаг 2: Условия перпендикулярности

Две прямые перпендикулярны, если угол между ними равен 90 градусам. В терминах угловых коэффициентов это означает, что произведение их угловых коэффициентов должно быть равно -1. То есть:

• k1 * k2 = -1

Шаг 3: Доказательство

Давайте рассмотрим углы наклона этих прямых относительно оси x. Угол наклона прямой y = k1x обозначим как α, а угол наклона прямой y = k2x обозначим как β. Угловые коэффициенты и углы наклона связаны следующим образом:

• k1 = tg(α)
• k2 = tg(β)

Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90 градусам, что означает:

• α + β = 90°

Согласно свойствам тангенса, если два угла α и β такие, что α + β = 90°, то:

• tg(β) = -1/tg(α)

Подставляя это в уравнение угловых коэффициентов, получаем:

• k2 = -1/k1

Умножив обе стороны на k1, мы получаем:

• k1 * k2 = -1

Шаг 4: Заключение

Таким образом, мы пришли к выводу, что если произведение угловых коэффициентов k1 и k2 равно -1, то прямые y = k1x и y = k2x являются перпендикулярными. Это и есть требуемое доказательство.