Как можно доказать, что если из доски 6×6 вырезали n вертикальных прямоугольников 1×2, то оставшуюся доску можно разрезать на ненулевое количество прямоугольников?

Алгебра 11 класс Комбинаторная геометрия доска 6x6 доказательство алгебра вырезание прямоугольников прямоугольники 1x2 разрезание доски алгебра 11 класс Новый

Для доказательства этого утверждения мы будем использовать метод индукции и свойства четности. Давайте разберем это шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание задачи

У нас есть доска размером 6×6, что означает, что она состоит из 36 квадратов. Когда мы вырезаем n вертикальных прямоугольников размером 1×2, мы удаляем 2n квадратов из доски. Таким образом, оставшееся количество квадратов на доске будет 36 - 2n.

Шаг 2: Четность оставшихся квадратов

Обратите внимание, что 36 - 2n всегда будет четным числом, независимо от значения n, так как 36 - четное число и 2n также четное число. Это означает, что оставшееся количество квадратов всегда будет четным.

Шаг 3: Разделение оставшейся доски

Теперь нам нужно понять, как можно разделить оставшиеся квадраты на прямоугольники. Заметим, что каждый прямоугольник, который мы будем вырезать, должен иметь четное количество квадратов, чтобы сохранить четность. Это возможно, если мы будем использовать прямоугольники размером 1×2 или 2×1, так как они содержат 2 квадрата.

Шаг 4: Индукция по количеству вырезанных прямоугольников

• База индукции: Если n = 0, то у нас есть вся доска 6×6. Мы можем разделить её на 18 прямоугольников 1×2.
• Шаг индукции: Предположим, что для некоторого k >= 0, если мы вырезали k прямоугольников 1×2, то оставшуюся доску можно разделить на прямоугольники. Теперь рассмотрим случай, когда мы вырезаем (k + 1)-й прямоугольник. Мы вырезаем еще один прямоугольник 1×2, что уменьшает количество оставшихся квадратов на 2. Мы знаем, что 36 - 2(k + 1) = 34 - 2k остается четным числом. По предположению индукции, оставшуюся доску можно разделить на прямоугольники.

Шаг 5: Заключение

Таким образом, мы показали, что если мы вырезаем n вертикальных прямоугольников 1×2 из доски 6×6, то оставшуюся доску можно разрезать на ненулевое количество прямоугольников. Это завершает доказательство.