Для доказательства этого утверждения мы будем использовать метод индукции и свойства четности. Давайте разберем это шаг за шагом.

У нас есть доска размером 6×6, что означает, что она состоит из 36 квадратов. Когда мы вырезаем n вертикальных прямоугольников размером 1×2, мы удаляем 2n квадратов из доски. Таким образом, оставшееся количество квадратов на доске будет 36 - 2n.

Обратите внимание, что 36 - 2n всегда будет четным числом, независимо от значения n, так как 36 - четное число и 2n также четное число. Это означает, что оставшееся количество квадратов всегда будет четным.

Теперь нам нужно понять, как можно разделить оставшиеся квадраты на прямоугольники. Заметим, что каждый прямоугольник, который мы будем вырезать, должен иметь четное количество квадратов, чтобы сохранить четность. Это возможно, если мы будем использовать прямоугольники размером 1×2 или 2×1, так как они содержат 2 квадрата.

• База индукции: Если n = 0, то у нас есть вся доска 6×6. Мы можем разделить её на 18 прямоугольников 1×2.
• Шаг индукции: Предположим, что для некоторого k >= 0, если мы вырезали k прямоугольников 1×2, то оставшуюся доску можно разделить на прямоугольники. Теперь рассмотрим случай, когда мы вырезаем (k + 1)-й прямоугольник. Мы вырезаем еще один прямоугольник 1×2, что уменьшает количество оставшихся квадратов на 2. Мы знаем, что 36 - 2(k + 1) = 34 - 2k остается четным числом. По предположению индукции, оставшуюся доску можно разделить на прямоугольники.

Таким образом, мы показали, что если мы вырезаем n вертикальных прямоугольников 1×2 из доски 6×6, то оставшуюся доску можно разрезать на ненулевое количество прямоугольников. Это завершает доказательство.