Как можно доказать, что ни при каких целых x выражение 3x² + 2 не является полным квадратом?

Алгебра 11 класс Доказательство свойств чисел и алгебраических выражений доказательство полного квадрата алгебра 11 класс выражение 3x² + 2 целые x свойства квадратов Новый

Чтобы доказать, что выражение 3x² + 2 не является полным квадратом для любых целых x, мы можем использовать метод анализа остатков при делении на некоторые числа.

Полный квадрат — это выражение, которое можно представить в виде (a)², где a — целое число. Для начала рассмотрим выражение 3x² + 2 и проанализируем его при делении на 3.

Шаг 1: Определим возможные остатки при делении x на 3.

• Если x делится на 3, то x ≡ 0 (mod 3).
• Если x оставляет остаток 1 при делении на 3, то x ≡ 1 (mod 3).
• Если x оставляет остаток 2 при делении на 3, то x ≡ 2 (mod 3).

Шаг 2: Найдем значения 3x² + 2 для каждого случая.

1. Если x ≡ 0 (mod 3), то:
• 3x² + 2 ≡ 3(0)² + 2 ≡ 2 (mod 3).
2. Если x ≡ 1 (mod 3), то:
• 3x² + 2 ≡ 3(1)² + 2 ≡ 3 + 2 ≡ 5 ≡ 2 (mod 3).
3. Если x ≡ 2 (mod 3), то:
• 3x² + 2 ≡ 3(2)² + 2 ≡ 12 + 2 ≡ 14 ≡ 2 (mod 3).

Таким образом, в любом случае мы получаем, что 3x² + 2 ≡ 2 (mod 3).

Шаг 3: Проанализируем полные квадраты по модулю 3.

Теперь давайте рассмотрим, какие остатки могут принимать полные квадраты при делении на 3:

• (0)² ≡ 0 (mod 3)
• (1)² ≡ 1 (mod 3)
• (2)² ≡ 1 (mod 3)

Таким образом, полные квадраты могут давать остатки только 0 или 1 при делении на 3.

Шаг 4: Вывод.

Мы установили, что выражение 3x² + 2 ≡ 2 (mod 3), а полные квадраты могут давать только остатки 0 или 1. Это означает, что 3x² + 2 не может быть полным квадратом при любом целом x.

Следовательно, мы доказали, что выражение 3x² + 2 не является полным квадратом для всех целых x.