Чтобы доказать формулы «сложного радикала», начнем с анализа первой формулы:

Для начала, давайте обозначим:

• x = √((a + √(a² - b))/2)
• y = √((a - √(a² - b))/2)

Теперь нам нужно показать, что x + y = √(a + √b).

Сначала найдем x² + y²:

• x² = (a + √(a² - b))/2
• y² = (a - √(a² - b))/2

Теперь складываем x² и y²:

• x² + y² = (a + √(a² - b))/2 + (a - √(a² - b))/2
• x² + y² = a

Теперь найдем 2xy:

• xy = √((a + √(a² - b))/2) * √((a - √(a² - b))/2) = √(((a + √(a² - b))(a - √(a² - b))))/2
• xy = √((a² - (a² - b))/2) = √(b/2)
• 2xy = 2√(b/2) = √2b

Теперь мы знаем, что:

• x² + y² = a
• 2xy = √2b

Теперь используем формулу для (x + y)²:

• (x + y)² = x² + y² + 2xy = a + √2b

Таким образом, мы получаем:

• (x + y)² = a + √b

Теперь, если мы возьмем корень из обеих сторон, то получим:

• x + y = √(a + √b)

Таким образом, первая формула доказана. Аналогично можно доказать и вторую формулу:

Теперь, чтобы вычислить √(38 - √603), воспользуемся первой формулой. Определим a и b:

• a = 38
• b = 603

Теперь проверим условие a² - b > 0:

• a² = 38² = 1444
• a² - b = 1444 - 603 = 841 > 0

Теперь мы можем использовать формулу:

• √(38 - √603) = √((38 + √(841))/2) - √((38 - √(841))/2)
• √(841) = 29

Теперь подставим значения:

• √(38 - 29)/2 = √(9/2) - √(9/2) = √(9/2) - 0

Теперь вычислим:

• √(9/2) = 3/√2 = 3√2/2

Таким образом, мы получили значение √(38 - √603) = 3√2/2.

В итоге, мы доказали обе формулы и вычислили значение корня.