Как можно доказать, что выражение 3x(4-2x)-4(x+1)(2x+1)+3 всегда принимает только отрицательные значения?

Алгебра 11 класс Неравенства и анализ функций доказать выражение 3x(4-2x)-4(x+1)(2x+1)+3 отрицательные значения алгебра 11 класс математическое доказательство неравенства анализ функций Новый

Чтобы доказать, что выражение 3x(4-2x)-4(x+1)(2x+1)+3 всегда принимает только отрицательные значения, мы можем упростить его и проанализировать полученное выражение.

Начнем с упрощения данного выражения:

1. Раскроим скобки в первом слагаемом: 3x(4-2x) = 12x - 6x^2.
2. Раскроим скобки во втором слагаемом: -4(x+1)(2x+1) = -4(2x^2 + 3x + 1) = -8x^2 - 12x - 4.
3. Теперь объединим все слагаемые:

Итак, у нас получается следующее выражение:

12x - 6x^2 - 8x^2 - 12x - 4 + 3

Теперь объединим подобные слагаемые:

• Слагаемые с x^2: -6x^2 - 8x^2 = -14x^2
• Слагаемые с x: 12x - 12x = 0
• Константы: -4 + 3 = -1

Таким образом, мы получаем:

-14x^2 - 1

Теперь проанализируем это выражение. Заметим, что:

• Коэффициент при x^2 равен -14, что означает, что парабола, заданная этим выражением, открыта вниз.
• Константа -1 показывает, что значение выражения всегда будет меньше 0.

Таким образом, выражение -14x^2 - 1 всегда будет отрицательным для любых значений x.

В заключение, мы доказали, что выражение 3x(4-2x)-4(x+1)(2x+1)+3 всегда принимает только отрицательные значения, так как его упрощенная форма -14x^2 - 1 меньше нуля для любого x.