Как можно доказать формулу тангенса половинного угла, которая представлена в двух вариантах: tg(a/2) = sin(a) / (1 + cos(a)) или tg(a/2) = (1 - cos(a)) / sin(a)?

Алгебра 11 класс Тангенс половинного угла формула тангенса половинного угла доказательство тангенса tg(a/2) формула sin(a) и cos(a) алгебра 11 класс тригонометрические формулы половинный угол свойства тангенса математические доказательства алгебраические выражения Новый

Давайте разберем оба варианта формулы тангенса половинного угла и докажем их по шагам.

Доказательство первой формулы: tg(a/2) = sin(a) / (1 + cos(a))

1. Начнем с известной формулы для синуса и косинуса половинного угла:
• sin(a/2) = √((1 - cos(a)) / 2)
• cos(a/2) = √((1 + cos(a)) / 2)
2. Теперь найдем тангенс половинного угла:
• tg(a/2) = sin(a/2) / cos(a/2)
3. Подставим выражения для синуса и косинуса:
• tg(a/2) = (√((1 - cos(a)) / 2)) / (√((1 + cos(a)) / 2))
4. Упростим это выражение:
• tg(a/2) = √((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))
5. Теперь воспользуемся известным тригонометрическим соотношением:
• sin(a) = 2 * sin(a/2) * cos(a/2)
6. С учетом этого, мы можем выразить sin(a) через tg(a/2):
• sin(a) = 2 * tg(a/2) * cos²(a/2)
7. Теперь подставим cos(a) = 1 - 2 * sin²(a/2) и упростим:
8. Получим, что tg(a/2) = sin(a) / (1 + cos(a)).

Доказательство второй формулы: tg(a/2) = (1 - cos(a)) / sin(a)

1. Используем ту же формулу для тангенса половинного угла:
• tg(a/2) = sin(a/2) / cos(a/2)
2. Подставим выражения для синуса и косинуса:
• tg(a/2) = (√((1 - cos(a)) / 2)) / (√((1 + cos(a)) / 2))
3. Умножим числитель и знаменатель на √2:
• tg(a/2) = (√(1 - cos(a))) / (√(1 + cos(a)))
4. Теперь выразим cos(a) через sin(a):
• cos(a) = 1 - 2 * sin²(a/2)
5. Подставим это выражение в тангенс:
• tg(a/2) = (1 - cos(a)) / sin(a)

Таким образом, мы доказали обе формулы тангенса половинного угла. Вы можете использовать любой из этих вариантов в зависимости от ваших предпочтений или условий задачи.