Как можно доказать тождество, указав область его определения:

1+cos(b)-sin(b)-ctg(b)=(1-ctg(b)(1-sin(b))

 

Кроме того, как вычислить sin(a)-cos(a), если sec^2(a)+cosec^2(a)=6.25 и a(альфа) принадлежит (п; 5п/4)?

Алгебра 11 класс Тождественные равенства и тригонометрические уравнения алгебра 11 тождество область определения доказательство тождества вычисление sin cos sec cosec уравнение Тригонометрия математика 11 класс Новый

Для доказательства тождества 1 + cos(b) - sin(b) - ctg(b) = 1 - ctg(b)(1 - sin(b)) начнем с левой части уравнения и будем преобразовывать её, чтобы получить правую часть.

1. Начнем с левой части:

• 1 + cos(b) - sin(b) - ctg(b)
• Заменим ctg(b) на cos(b)/sin(b):
• 1 + cos(b) - sin(b) - cos(b)/sin(b)

2. Приведем к общему знаменателю:

• Общий знаменатель - sin(b):
• (1 * sin(b) + cos(b) * sin(b) - sin^2(b) - cos(b)) / sin(b)
• Это равно: (sin(b) + cos(b)sin(b) - sin^2(b) - cos(b)) / sin(b)

3. Упростим числитель:

• sin(b) - cos(b) + cos(b)sin(b) - sin^2(b)

4. Теперь посмотрим на правую часть:

• 1 - ctg(b)(1 - sin(b))
• Заменим ctg(b) на cos(b)/sin(b):
• 1 - (cos(b)/sin(b))(1 - sin(b))

5. Приведем к общему знаменателю:

• 1 - (cos(b) - cos(b)sin(b))/sin(b)
• (sin(b) - cos(b) + cos(b)sin(b))/sin(b)

6. Таким образом, мы видим, что обе части равны, и мы доказали тождество. Область определения: sin(b) ≠ 0 и b ≠ nπ, n ∈ Z (где n - любое целое число).

Теперь перейдем ко второй части вопроса: как вычислить sin(a) - cos(a), если sec^2(a) + cosec^2(a) = 6.25 и a принадлежит (π; 5π/4).

1. Начнем с уравнения:

• sec^2(a) = 1/cos^2(a)
• cosec^2(a) = 1/sin^2(a)

2. Подставим в уравнение:

• 1/cos^2(a) + 1/sin^2(a) = 6.25

3. Умножим всё на cos^2(a)sin^2(a):

• sin^2(a) + cos^2(a) = 6.25cos^2(a)sin^2(a)
• Так как sin^2(a) + cos^2(a) = 1, то:
• 1 = 6.25cos^2(a)sin^2(a)

4. Обозначим x = sin^2(a) и y = cos^2(a). Тогда xy = 1/6.25 = 0.16.

5. Используя sin^2(a) + cos^2(a) = 1, мы можем выразить y через x:

• y = 1 - x

6. Подставим y в уравнение:

• x(1 - x) = 0.16
• x - x^2 = 0.16
• x^2 - x + 0.16 = 0

7. Используем дискриминант для решения квадратного уравнения:

• D = (-1)^2 - 4 * 1 * 0.16 = 1 - 0.64 = 0.36

8. Найдем корни:

• x1,2 = (1 ± √0.36) / 2 = (1 ± 0.6) / 2
• Получаем x1 = 0.8 и x2 = 0.2.

9. Соответственно, y будет:

• y1 = 1 - 0.8 = 0.2 и y2 = 1 - 0.2 = 0.8.

10. Теперь мы знаем, что sin^2(a) = 0.8 и cos^2(a) = 0.2 или наоборот.

11. В зависимости от знаков в области определения (π; 5π/4), у нас:

• sin(a) < 0, cos(a) < 0.

12. Таким образом, sin(a) = -√0.8 = -2√2/4 = -√2/2 и cos(a) = -√0.2 = -√2/5.

13. Теперь вычислим sin(a) - cos(a):

• sin(a) - cos(a) = -√0.8 + √0.2 = -√2/2 + √2/5.

14. Приведем к общему знаменателю:

• sin(a) - cos(a) = (-5√2 + 2√2) / 10 = -3√2 / 10.

Таким образом, sin(a) - cos(a) = -3√2 / 10.