Метод нахождения наибольшего и наименьшего значений функции через производную является мощным инструментом в решении практических задач, связанных с оптимизацией. Рассмотрим два примера, которые вы привели.

1. Обозначим стороны прямоугольника как x и y.
2. Запишем условие задачи: площадь прямоугольника P = x * y = 25.
3. Периметр прямоугольника выражается формулой: Per = 2x + 2y.
4. Сначала выразим одну из сторон через другую, используя условие площади: y = 25/x.
5. Теперь подставим это выражение в формулу периметра: Per = 2x + 2(25/x) = 2x + 50/x.
6. Теперь нам нужно найти производную периметра по x: Per' = 2 - 50/x².
7. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: 2 - 50/x² = 0.
8. Решим уравнение: 50/x² = 2, отсюда x² = 25, значит x = 5.
9. Теперь найдем y: y = 25/5 = 5.
10. Таким образом, прямоугольник с минимальным периметром имеет стороны 5 см и 5 см (квадрат).

1. Обозначим стороны прямоугольника как x и y.
2. Согласно теореме Пифагора, для диагонали прямоугольника справедливо: x² + y² = 18² = 324.
3. Площадь прямоугольника выражается формулой: A = x * y.
4. Для удобства выразим одну из сторон через другую. Из уравнения диагонали можно выразить y = √(324 - x²).
5. Теперь подставим это выражение в формулу площади: A = x * √(324 - x²).
6. Для нахождения максимума площади найдем производную: A' = √(324 - x²) + x * (-1/2) * (1/√(324 - x²)) * (-2x).
7. Упростим производную: A' = √(324 - x²) - x²/(√(324 - x²)).
8. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: √(324 - x²) = x²/(√(324 - x²)).
9. После упрощения и решения мы получим значение x, и затем найдем y.
10. Таким образом, мы сможем определить размеры прямоугольника, который имеет максимальную площадь при заданной диагонали.

В обоих примерах мы использовали методы дифференцирования и оптимизации для нахождения необходимых значений. Это позволяет эффективно решать задачи, связанные с максимизацией и минимизацией различных параметров.