Как можно исследовать функцию y=x^3-3x^2+1 и построить ее график?

Алгебра 11 класс Исследование и график функций исследование функции график функции y=x^3-3x^2+1 алгебра анализ функции построение графика математическое моделирование функции третьей степени поведение функции корни уравнения Новый

Исследование функции y = x^3 - 3x^2 + 1 включает в себя несколько этапов, каждый из которых позволяет получить информацию о поведении функции и ее графике. Ниже представлены основные шаги, которые необходимо выполнить.

1. Определение области определения функции:

   Для функции y = x^3 - 3x^2 + 1 область определения включает все действительные числа, так как это полиномиальная функция. Таким образом, область определения: D = R.

2. Нахождение производной:

   Для анализа поведения функции необходимо найти ее первую производную:

   • y' = 3x^2 - 6x.

   Производная позволяет определить, где функция возрастает или убывает.

3. Нахождение критических точек:

   Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

   • 3x^2 - 6x = 0.
   • Факторизуем: 3x(x - 2) = 0.
   • Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 2.
4. Анализ знака производной:

   Для определения интервалов возрастания и убывания функции рассмотрим знак производной на интервалах, разделенных критическими точками:

   • Интервал (-∞, 0): y' > 0 (функция возрастает).
   • Интервал (0, 2): y' < 0 (функция убывает).
   • Интервал (2, +∞): y' > 0 (функция возрастает).
5. Нахождение значений функции в критических точках:

   Теперь найдем значения функции в критических точках:

   • y(0) = 0^3 - 3*0^2 + 1 = 1.
   • y(2) = 2^3 - 3*2^2 + 1 = -1.
6. Нахождение вторичной производной:

   Для определения выпуклости функции найдем вторую производную:

   • y'' = 6x - 6.

   Приравняем вторую производную к нулю для нахождения точек перегиба:

   • 6x - 6 = 0 → x = 1.

   Анализируя знак второй производной, можно определить, где функция выпуклая или вогнутая.

7. Построение графика:

   Теперь, имея информацию о критических точках, интервалах возрастания и убывания, а также о выпуклости, можно построить график функции:

   • Критические точки: (0, 1) - максимум, (2, -1) - минимум.
   • Точка перегиба: (1, 0).
   • График будет иметь форму, напоминающую букву "S", с максимумом в точке (0, 1) и минимумом в точке (2, -1).

В результате выполнения всех вышеперечисленных шагов, мы получаем полное представление о функции y = x^3 - 3x^2 + 1 и можем построить ее график, который будет отражать все найденные характеристики.