Для того чтобы исследовать и построить график функции y = x^4 + 5*x^2, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку:

Функция y = x^4 + 5*x^2 является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. То есть, область определения: D = R.

Для исследования функции нам нужно найти её первую производную:

• y' = d(y)/d(x) = 4*x^3 + 10*x.

Критические точки находятся, когда производная равна нулю:

• 4*x^3 + 10*x = 0.
• 4*x(x^2 + 2.5) = 0.

Это уравнение имеет два множителя:

• 4*x = 0 → x = 0.
• x^2 + 2.5 = 0 → нет действительных корней (так как x^2 всегда неотрицательно).

Таким образом, критическая точка: x = 0.

Теперь мы исследуем знак производной в интервалах, определяемых критической точкой:

• Для x < 0: y' < 0 (функция убывает).
• Для x > 0: y' > 0 (функция возрастает).

Это говорит нам о том, что в точке x = 0 находится минимум функции.

Теперь мы найдем значение функции в критической точке:

• y(0) = 0^4 + 5*0^2 = 0.

Таким образом, минимум функции находится в точке (0, 0).

Теперь рассмотрим пределы функции при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности:

• При x → +∞: y → +∞ (так как старший член x^4 доминирует).
• При x → -∞: y → +∞ (аналогично, так как x^4 также положителен).

Теперь, зная, что у нас есть минимум в (0, 0) и функция стремится к бесконечности на обоих концах, мы можем построить график:

• График будет иметь форму "U", с минимумом в точке (0, 0).
• Функция будет возрастать на интервале (-∞, 0) и (0, +∞).

Таким образом, мы исследовали функцию y = x^4 + 5*x^2 и можем построить её график, учитывая все найденные характеристики.