Чтобы исследовать функцию z = x^2 + 2xy + 2y^2 - 4x - 4y на экстремум, нужно выполнить несколько шагов, включая нахождение частных производных, их приравнивание к нулю и анализ полученных значений. Давайте рассмотрим этот процесс подробно.

1. Найти частные производные функции.
   • Частная производная по x:

   ∂z/∂x = 2x + 2y - 4

   • Частная производная по y:

   ∂z/∂y = 2x + 4y - 4

2. Приравнять частные производные к нулю.

   Теперь мы приравниваем каждую из частных производных к нулю, чтобы найти критические точки:

   • 2x + 2y - 4 = 0
   • 2x + 4y - 4 = 0
3. Решить систему уравнений.

   Решим систему уравнений:

   • Из первого уравнения: 2x + 2y = 4, или x + y = 2.
   • Из второго уравнения: 2x + 4y = 4, или x + 2y = 2.

   Теперь выразим y из первого уравнения:

   y = 2 - x.

   Подставим это значение во второе уравнение:

   x + 2(2 - x) = 2.

   Упрощаем: x + 4 - 2x = 2, или -x + 4 = 2, следовательно, x = 2.

   Теперь подставим значение x в первое уравнение:

   2 + y = 2, отсюда y = 0.

   Таким образом, мы нашли критическую точку: (2, 0).

4. Определить тип экстремума с помощью второго производного теста.

   Для этого находим вторые частные производные:

   • ∂²z/∂x² = 2
   • ∂²z/∂y² = 4
   • ∂²z/∂x∂y = 2

   Теперь вычислим определитель Гессиана H:

   H = ∂²z/∂x² * ∂²z/∂y² - (∂²z/∂x∂y)² = 2 * 4 - 2² = 8 - 4 = 4.

   Так как H > 0 и ∂²z/∂x² > 0, это указывает на то, что в точке (2, 0) находится локальный минимум.

Таким образом, функция z имеет локальный минимум в точке (2, 0).