Как можно изучить функцию, используя производные, и построить ее график для выражения: y = x^2 / (x + 1)^2?

Алгебра 11 класс Исследование функций с помощью производных функция производные график изучение алгебра 11 y = x^2 / (x + 1)^2 анализ функции построение графика математическое моделирование свойства функции Новый

Чтобы изучить функцию y = x^2 / (x + 1)^2 с помощью производных и построить ее график, следуем следующим шагам:

1. Найдем производную функции.

Для нахождения производной функции, воспользуемся правилом деления:

• Если u = x^2 и v = (x + 1)^2, то производная y = u/v будет вычисляться по формуле:
• y' = (u'v - uv') / v^2.

Теперь найдем u' и v':

• u' = 2x (производная x^2),
• v = (x + 1)^2, v' = 2(x + 1) (производная (x + 1)^2).

Теперь подставим все в формулу:

• y' = (2x * (x + 1)^2 - x^2 * 2(x + 1)) / (x + 1)^4.

Упрощаем числитель:

• 2x(x + 1)^2 - 2x^2(x + 1) = 2x((x + 1)^2 - x(x + 1)) = 2x((x^2 + 2x + 1) - (x^2 + x)) = 2x(x + 1).

Таким образом, производная:

• y' = 2x(x + 1) / (x + 1)^4 = 2x / (x + 1)^3 (при x ≠ -1).

2. Определим критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует:

• 2x = 0 => x = 0 (критическая точка).
• Производная не существует при x = -1 (разделение на ноль).

3. Исследуем знаки производной.

Теперь определим, где функция возрастает и убывает:

• Для x < 0, y' < 0 (функция убывает).
• Для x > 0, y' > 0 (функция возрастает).

Следовательно, в точке x = 0 у нас будет минимум.

4. Найдем значения функции в критических точках.

Теперь подставим x = 0 и x = -1 в исходную функцию:

• y(0) = 0^2 / (0 + 1)^2 = 0.
• y(-1) = (-1)^2 / (0)^2 (неопределенность, точка разрыва).

5. Построим график функции.

Теперь, имея информацию о критических точках и поведении функции, можем построить график:

• Функция имеет минимум в точке (0, 0).
• При x = -1 функция не определена, что создает вертикальную асимптоту.
• При x → -∞, y → 0, и при x → +∞, y также стремится к 0.

Таким образом, график функции будет выглядеть как парабола, которая уходит к нулю с обеих сторон, с минимумом в точке (0, 0) и вертикальной асимптотой при x = -1.

Теперь вы можете использовать эту информацию для построения графика функции y = x^2 / (x + 1)^2 на координатной плоскости.