Как можно найти площадь области, ограниченной линиями: у=0,5 х 2x+3 и у=7-х?

Алгебра 11 класс Определение площади ограниченной фигуры площадь области ограниченная линиями у=0,5х^2+3 у=7-х алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти площадь области, ограниченной линиями y = 0.5x^2 + 3 и y = 7 - x, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения графиков:

   Для этого приравняем уравнения:

   0.5x^2 + 3 = 7 - x

   Перепишем уравнение:

   0.5x^2 + x + 3 - 7 = 0

   0.5x^2 + x - 4 = 0

   Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

   x^2 + 2x - 8 = 0

   Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36

   Корни уравнения:

   x1 = (-b + sqrt(D)) / 2a = (-2 + 6) / 2 = 2

   x2 = (-b - sqrt(D)) / 2a = (-2 - 6) / 2 = -4

2. Найти значения y для точек пересечения:

   Подставим x1 = 2 в одно из уравнений:

   y = 7 - x = 7 - 2 = 5

   Подставим x2 = -4:

   y = 7 - (-4) = 11

3. Определить границы интегрирования:

   Границы интегрирования будут от x = -4 до x = 2.

4. Записать интеграл для нахождения площади:

   Площадь области S будет равна:

   S = ∫(верхняя функция - нижняя функция) dx

   В нашем случае верхней функцией является y = 7 - x, а нижней y = 0.5x^2 + 3.

   Таким образом, интеграл будет выглядеть так:

   S = ∫[-4, 2] ((7 - x) - (0.5x^2 + 3)) dx

   Упростим подынтегральное выражение:

   S = ∫[-4, 2] (4 - x - 0.5x^2) dx

5. Вычислить интеграл:

   Находим первообразную:

   ∫(4 - x - 0.5x^2) dx = 4x - 0.5x^2 - (1/6)x^3 + C

   Теперь подставим границы интегрирования:

   S = [4(2) - 0.5(2^2) - (1/6)(2^3)] - [4(-4) - 0.5(-4^2) - (1/6)(-4^3)]

   Вычисляем:

   S = [8 - 2 - (8/6)] - [-16 - 8 + (64/6)]

   Упрощаем:

   S = [6 - (4/3)] - [-24 + (64/6)]

   Считаем S и получаем площадь области.

Таким образом, следуя этим шагам, вы сможете найти площадь области, ограниченной заданными линиями.