Как можно найти площадь области, заключенной между графиком функции f(x)=|4-x²|, отрезком [-2;1], осью Ох и вертикальной прямой x=1?

Алгебра 11 класс Площадь под графиком функции площадь области график функции f(x)=|4-x²| отрезок [-2;1] ось Ох вертикальная прямая x=1 алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти площадь области, заключенной между графиком функции f(x) = |4 - x²|, отрезком [-2; 1], осью OX и вертикальной прямой x = 1, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем точки пересечения функции с осью OX.

Для этого решим уравнение f(x) = 0:

• 4 - x² = 0
• x² = 4
• x = ±2

Таким образом, функция пересекает ось OX в точках x = -2 и x = 2.

Шаг 2: Определим, как выглядит график функции.

Функция f(x) = |4 - x²| имеет две части:

• Для x < -2 и x > 2: f(x) = 4 - x² (график направлен вниз).
• Для -2 ≤ x ≤ 2: f(x) = x² - 4 (график направлен вверх).

Шаг 3: Найдем площадь между графиком и осью OX на интервале [-2; 1].

Поскольку нас интересует область, заключенная между графиком функции и осью OX от x = -2 до x = 1, нам нужно рассмотреть два участка:

• От x = -2 до x = 0, где f(x) = 4 - x².
• От x = 0 до x = 1, где f(x) = 4 - x² также, так как 0 < 2.

Шаг 4: Вычислим площадь.

Площадь A между графиком функции и осью OX можно найти, используя интеграл:

1. Площадь от x = -2 до x = 0:
• A1 = ∫(от -2 до 0) (4 - x²) dx
2. Площадь от x = 0 до x = 1:
• A2 = ∫(от 0 до 1) (4 - x²) dx

Шаг 5: Вычислим интегралы.

Теперь вычислим интегралы:

• A1 = [4x - (x³)/3] от -2 до 0 = (0 - 0) - [4(-2) - ((-2)³)/3] = 8 + 8/3 = 32/3.
• A2 = [4x - (x³)/3] от 0 до 1 = (4*1 - (1)³/3) - (0 - 0) = 4 - 1/3 = 12/3 - 1/3 = 11/3.

Шаг 6: Сложим площади A1 и A2.

Общая площадь A = A1 + A2 = (32/3) + (11/3) = 43/3.

Таким образом, площадь области, заключенной между графиком функции f(x) = |4 - x²|, отрезком [-2; 1], осью OX и вертикальной прямой x = 1, равна 43/3.