Как можно найти площадь области, заключенной между графиком функции y = f(x) и координатными осями, если f(x) = -x^2 + 6x - 9?

Алгебра 11 класс Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осями координат площадь области график функции координатные оси f(x) = -x^2 + 6x - 9 алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти площадь области, заключенной между графиком функции y = f(x) = -x^2 + 6x - 9 и координатными осями, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти корни функции. Это делается для того, чтобы определить, где график функции пересекает ось абсцисс (ось x). Для этого решим уравнение f(x) = 0.
• Уравнение имеет вид: -x^2 + 6x - 9 = 0.
• Можно умножить уравнение на -1, чтобы упростить: x^2 - 6x + 9 = 0.
• Это уравнение можно разложить на множители: (x - 3)(x - 3) = 0, что дает корень x = 3.
2. Определить интервалы. Поскольку у нас есть только один корень, график функции касается оси x в точке x = 3. Теперь нужно определить, где функция положительна или отрицательна.
• Возьмем тестовую точку, например, x = 0: f(0) = -0^2 + 6*0 - 9 = -9. Значит, функция отрицательна в интервале (-∞, 3).
• Для x = 4: f(4) = -4^2 + 6*4 - 9 = -1. Функция также отрицательна в интервале (3, ∞).
3. Найти площадь. Поскольку функция отрицательна на всем интервале, площадь будет определяться как интеграл от f(x) по интервалу, где функция пересекает ось y (то есть от x = 0 до x = 6, так как это точки, где график пересекает ось y).
• Найдем f(0) и f(6):
• f(0) = -9
• f(6) = -9
• Теперь можно вычислить площадь: Площадь = -∫(от 0 до 6) (-x^2 + 6x - 9) dx.
4. Вычисление интеграла. Сначала найдем неопределенный интеграл:
• ∫(-x^2 + 6x - 9) dx = -x^3/3 + 3x^2 - 9x + C.
5. Теперь подставим пределы интегрирования:
• ∫(от 0 до 6) (-x^2 + 6x - 9) dx = [-x^3/3 + 3x^2 - 9x] (от 0 до 6).
• Подставляем верхний предел x = 6: -(6^3)/3 + 3*(6^2) - 9*6 = -72 + 108 - 54 = -18.
• Подставляем нижний предел x = 0: 0.
• Таким образом, площадь области = |-18 - 0| = 18.

Итак, площадь области, заключенной между графиком функции y = -x^2 + 6x - 9 и координатными осями, равна 18.