Как можно найти площадь треугольника, который образуется прямой y=2-x, осью Ox и касательной, проведенной к графику y=1+2x-x^2 в точке x0=0? Спасибо

Алгебра 11 класс Площадь треугольника площадь треугольника прямая y=2-x ось OX касательная график y=1+2x-x^2 точка x0=0 алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти площадь треугольника, образованного прямой y=2-x, осью Ox и касательной к графику функции y=1+2x-x^2 в точке x0=0, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем координаты точки касания.

Сначала найдем значение функции в точке x0=0:

• y(0) = 1 + 2*0 - 0^2 = 1.

Таким образом, точка касания имеет координаты (0, 1).

Шаг 2: Найдем производную функции для нахождения углового коэффициента касательной.

Теперь найдем производную функции y=1+2x-x^2:

• y' = 2 - 2x.

Подставляем x=0:

• y'(0) = 2 - 2*0 = 2.

Угловой коэффициент касательной в точке x0=0 равен 2.

Шаг 3: Запишем уравнение касательной.

Уравнение касательной можно записать в виде:

• y - y0 = m(x - x0),

где (x0, y0) - точка касания, а m - угловой коэффициент.

• y - 1 = 2(x - 0),
• y = 2x + 1.

Шаг 4: Найдем точки пересечения касательной с осью Ox и с прямой y=2-x.

Для нахождения точки пересечения касательной с осью Ox, приравняем y к 0:

• 0 = 2x + 1,
• 2x = -1,
• x = -1/2.

Теперь найдем точку пересечения касательной y=2x + 1 с прямой y=2-x:

• 2x + 1 = 2 - x.
• 2x + x = 2 - 1.
• 3x = 1.
• x = 1/3.

Теперь подставим x=1/3 в уравнение касательной, чтобы найти y:

• y = 2*(1/3) + 1 = 2/3 + 1 = 5/3.

Шаг 5: Найдем координаты всех трех вершин треугольника.

Теперь у нас есть следующие точки:

• A(-1/2, 0) - пересечение касательной с осью Ox,
• B(1/3, 5/3) - пересечение касательной с прямой y=2-x,
• C(0, 1) - точка касания.

Шаг 6: Найдем площадь треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

• Площадь = 1/2 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|,

где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) - координаты вершин треугольника.

• Площадь = 1/2 * |-1/2(5/3 - 1) + 1/3(1 - 0) + 0(0 - 5/3)|.
• Площадь = 1/2 * |-1/2*(-2/3) + 1/3(1)|.
• Площадь = 1/2 * |1/3 + 1/3| = 1/2 * |2/3| = 1/3.

Таким образом, площадь треугольника равна 1/3.