Чтобы найти приближенное значение функции y = f(x) при x = x2, используя дифференциал dy, необходимо выполнить несколько шагов. Мы будем использовать формулу:

dy = f'(x1) * dx

где:

• dy - дифференциал функции, который представляет собой малое изменение функции при изменении x;
• f'(x1) - производная функции в точке x1;
• dx - малое приращение x, то есть разность x2 - x1.

Теперь рассмотрим оба случая.

1. Функция y = √(3x^2 - 5x - 2)

Здесь x1 = 9 и x2 = 9.08.

1. Сначала найдем значение функции в точке x1:
2. f(9) = √(3*(9^2) - 5*9 - 2) = √(3*81 - 45 - 2) = √(243 - 45 - 2) = √196 = 14.
3. Теперь найдем производную функции f(x). Для этого используем правило производной для функции корня:
4. f'(x) = (1/2) * (3x^2 - 5x - 2)^(-1/2) * (6x - 5).
5. Теперь подставим x1 = 9 в производную:
6. f'(9) = (1/2) * (3*81 - 45 - 2)^(-1/2) * (54 - 5) = (1/2) * (196)^(-1/2) * 49 = (1/2) * (1/14) * 49 = 49/28 = 1.75.
7. Теперь найдем dx:
8. dx = x2 - x1 = 9.08 - 9 = 0.08.
9. Теперь можем найти dy:
10. dy = f'(9) * dx = 1.75 * 0.08 = 0.14.
11. Теперь находим приближенное значение функции в точке x2:
12. f(9.08) ≈ f(9) + dy = 14 + 0.14 = 14.14.

2. Функция y = cos(x)

Здесь x1 = 60 градусов и x2 = 59 градусов.

1. Сначала найдем значение функции в точке x1:
2. f(60) = cos(60°) = 0.5.
3. Теперь найдем производную функции f(x):
4. f'(x) = -sin(x).
5. Теперь подставим x1 = 60 градусов в производную:
6. f'(60) = -sin(60°) = -√3/2 ≈ -0.866.
7. Теперь найдем dx:
8. dx = x2 - x1 = 59 - 60 = -1.
9. Теперь можем найти dy:
10. dy = f'(60) * dx = -0.866 * (-1) = 0.866.
11. Теперь находим приближенное значение функции в точке x2:
12. f(59) ≈ f(60) + dy = 0.5 + 0.866 = 1.366.

Таким образом, мы нашли приближенные значения функции в обоих случаях, используя дифференциал dy вместо приращения ∆y.