Как можно найти уравнение касательной к кривой y=4x-x^2 в тех точках, где она пересекает ось Ox?

Алгебра 11 класс Уравнения касательных и их применение Уравнение касательной кривая пересечение с осью Ox алгебра 11 класс нахождение уравнения касательной Новый

Чтобы найти уравнение касательной к кривой y = 4x - x^2 в точках, где она пересекает ось Ox, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти точки пересечения с осью Ox

Кривая пересекает ось Ox, когда y = 0. Подставим это в уравнение:

0 = 4x - x^2.

Перепишем уравнение:

x^2 - 4x = 0.

Теперь вынесем x за скобки:

x(x - 4) = 0.

Это уравнение имеет два корня:

• x = 0
• x = 4

Таким образом, точки пересечения с осью Ox: (0, 0) и (4, 0).

Шаг 2: Найти производную функции

Чтобы найти уравнение касательной, нам нужно знать угловой коэффициент касательной. Для этого найдем производную функции y = 4x - x^2:

y' = 4 - 2x.

Шаг 3: Найти угловые коэффициенты в точках пересечения

Теперь подставим найденные значения x в производную, чтобы найти угловые коэффициенты:

• Для x = 0:

y'(0) = 4 - 2(0) = 4.

• Для x = 4:

y'(4) = 4 - 2(4) = -4.

Шаг 4: Записать уравнение касательной

Уравнение касательной можно записать в виде:

y - y0 = k(x - x0),

где (x0, y0) - точка касания, k - угловой коэффициент.

Для точки (0, 0):

• Угловой коэффициент k = 4.
• Подставляем в уравнение:

y - 0 = 4(x - 0),

или y = 4x.

Для точки (4, 0):

• Угловой коэффициент k = -4.
• Подставляем в уравнение:

y - 0 = -4(x - 4),

или y = -4x + 16.

Итак, уравнения касательных:

• Касательная в точке (0, 0): y = 4x.
• Касательная в точке (4, 0): y = -4x + 16.

Таким образом, мы нашли уравнения касательных к кривой y = 4x - x^2 в точках, где она пересекает ось Ox.