Как можно обосновать, что выражение x в квадрате - 4x + 9 всегда остается положительным для любых значений x?

Алгебра 11 класс Неравенства и анализ знаков алгебра 11 класс выражение x в квадрате положительное выражение обоснование неравенства математический анализ свойства квадратичной функции Новый

Чтобы обосновать, что выражение x в квадрате - 4x + 9 всегда остается положительным для любых значений x, мы можем воспользоваться методом анализа квадратичной функции. Давайте рассмотрим данное выражение более подробно.

1. **Определим функцию:**

• Рассмотрим функцию f(x) = x^2 - 4x + 9.

2. **Найдем дискриминант:**

• Форма квадратичной функции имеет вид ax^2 + bx + c, где a = 1, b = -4, c = 9.
• Дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.
• Подставляем значения: D = (-4)^2 - 4 * 1 * 9 = 16 - 36 = -20.

3. **Анализируем дискриминант:**

• Поскольку дискриминант D < 0, это значит, что у функции нет действительных корней.
• Следовательно, график функции не пересекает ось x.

4. **Определим направление ветвей параболы:**

• Коэффициент a = 1 положителен, поэтому парабола открыта вверх.
• Это означает, что функция f(x) принимает только положительные значения.

5. **Найдем значение функции в вершине:**

• Вершина параболы находится по формуле x = -b/(2a) = -(-4)/(2*1) = 2.
• Подставим это значение в функцию: f(2) = (2)^2 - 4*(2) + 9 = 4 - 8 + 9 = 5.
• Значение функции в вершине положительно (f(2) = 5).

Таким образом, мы можем сделать вывод, что выражение x^2 - 4x + 9 всегда остается положительным для любых значений x, так как:

• У функции нет действительных корней;
• График функции не пересекает ось x;
• Функция принимает минимальное значение в вершине, которое также положительно.

Следовательно, выражение x^2 - 4x + 9 всегда больше нуля.