Как можно обосновать тождество 2cos^2(45° + 4a) + sin(8a) = 1?

Алгебра 11 класс Тождественные равенства тригонометрических функций тождество алгебра 11 класс 2cos^2 sin(8a) обоснование Тригонометрия математические выражения Новый

Чтобы обосновать тождество 2cos^2(45° + 4a) + sin(8a) = 1, начнем с разбора левой части уравнения.

1. Рассмотрим первый элемент: cos^2(45° + 4a). Мы знаем, что cos(45°) = sqrt(2)/2. Используем формулу косинуса суммы:

• cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β).

Подставим α = 45° и β = 4a:

• cos(45° + 4a) = cos(45°)cos(4a) - sin(45°)sin(4a).
• cos(45° + 4a) = (sqrt(2)/2)cos(4a) - (sqrt(2)/2)sin(4a).

Теперь найдем cos^2(45° + 4a):

• cos^2(45° + 4a) = ((sqrt(2)/2)cos(4a) - (sqrt(2)/2)sin(4a))^2.
• cos^2(45° + 4a) = (1/2)(cos^2(4a) - 2cos(4a)sin(4a) + sin^2(4a)).
• cos^2(45° + 4a) = (1/2)(1 - sin(8a)) (по формуле sin^2 + cos^2 = 1).

2. Теперь подставим это в тождество:

• 2cos^2(45° + 4a) = 2 * (1/2)(1 - sin(8a)) = 1 - sin(8a).

3. Теперь добавим sin(8a) к обеим сторонам:

• 2cos^2(45° + 4a) + sin(8a) = (1 - sin(8a)) + sin(8a) = 1.

Таким образом, мы пришли к равенству:

2cos^2(45° + 4a) + sin(8a) = 1.

Это подтверждает, что тождество верно.