Давайте начнем с первого вопроса. Если наибольший общий делитель (НОД) двух чисел a и b равен a, это означает, что a является делителем b. То есть, b можно выразить как k*a, где k - целое число. В этом случае a является наибольшим числом, которое делит оба числа.

Примеры:

• Пусть a = 4 и b = 8. НОД(4, 8) = 4. Здесь 4 делит 8, и 4 является наибольшим общим делителем.
• Пусть a = 5 и b = 15. НОД(5, 15) = 5. 5 делит 15, и 5 является НОД.

Теперь перейдем ко второму вопросу. Чтобы найти длину стороны самого большого квадрата, на который можно разделить прямоугольный кусок картона размером 96 см на 88 см, нам нужно найти НОД этих двух чисел.

Шаги для нахождения НОД:

1. Разложим 96 и 88 на простые множители:
• 96 = 2^5 * 3
• 88 = 2^3 * 11
2. Теперь находим минимальные степени общих простых множителей:
• 2: минимум из 5 и 3 - это 3, значит 2^3 = 8.
3. Следовательно, НОД(96, 88) = 8.

Таким образом, длина стороны самого большого квадрата, на который можно разделить прямоугольник, равна 8 см.

Теперь давайте определим НОД для следующих наборов чисел:

• 35, 55, 45:
• 35 = 5 * 7
• 55 = 5 * 11
• 45 = 5 * 9
• НОД(35, 55, 45) = 5.
• 62, 74, 212:
• 62 = 2 * 31
• 74 = 2 * 37
• 212 = 2^2 * 53
• НОД(62, 74, 212) = 2.
• 102, 216, 444:
• 102 = 2 * 3 * 17
• 216 = 2^3 * 3^3
• 444 = 2 * 3 * 37
• НОД(102, 216, 444) = 6.
• 522, 555, 75:
• 522 = 2 * 3 * 87
• 555 = 5 * 3 * 37
• 75 = 3 * 5^2
• НОД(522, 555, 75) = 3.

Теперь давайте определим, сколько из первых 30 натуральных чисел являются взаимно-простыми с числами 6, 7 и 13.

Взаимно-простые числа:

• Число 6 имеет делители 2 и 3. Взаимно-простые числа с 6 - это числа, которые не делятся на 2 и 3. Из первых 30 чисел такими являются: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29. Всего 10 чисел.
• Число 7. Взаимно-простые числа с 7 - это числа, которые не делятся на 7. Из первых 30 чисел такими являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30. Всего 27 чисел.
• Число 13. Взаимно-простые числа с 13 - это числа, которые не делятся на 13. Из первых 30 чисел такими являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30. Всего 29 чисел.

Таким образом, мы определили количество взаимно-простых чисел с числами 6, 7 и 13 в пределах первых 30 натуральных чисел.