Как можно определить асимптоты функции y = (x^3 - 1) / x^2? Пожалуйста, объясните подробно, как найти каждую из асимптот.

Алгебра 11 класс Асимптоты рациональных функций Асимптоты функции определение асимптот y = (x^3 - 1) / x^2 нахождение асимптот алгебра 11 класс Новый

Чтобы определить асимптоты функции y = (x^3 - 1) / x^2, нам нужно рассмотреть вертикальные и горизонтальные асимптоты. Давайте разберем каждую из них по порядку.

1. Вертикальные асимптоты

Вертикальные асимптоты возникают в точках, где функция не определена, то есть где знаменатель равен нулю. В нашем случае знаменатель равен x^2.

Решим уравнение:

• x^2 = 0

Это уравнение имеет решение:

• x = 0

Теперь проверим, ведет ли функция к бесконечности при приближении к этой точке:

• Если x стремится к 0 с положительной стороны (x → 0+), то y = (0^3 - 1) / 0^2 = -1/0, что стремится к -∞.
• Если x стремится к 0 с отрицательной стороны (x → 0-), то y = (0^3 - 1) / 0^2 = -1/0, что стремится к +∞.

Таким образом, у нас есть вертикальная асимптота в x = 0.

2. Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты определяются поведением функции при x, стремящемся к бесконечности (положительной или отрицательной). Рассмотрим предел функции при x → ∞ и x → -∞.

Для x → ∞:

• y = (x^3 - 1) / x^2 = x^3/x^2 - 1/x^2 = x - 1/x^2.

При x → ∞, второй член (1/x^2) стремится к 0, и мы получаем:

• y → x - 0 = ∞.

Теперь для x → -∞:

• y = (x^3 - 1) / x^2 = x^3/x^2 - 1/x^2 = x - 1/x^2.

При x → -∞, второй член (1/x^2) также стремится к 0, и мы получаем:

• y → x - 0 = -∞.

Таким образом, у функции нет горизонтальных асимптот, так как при стремлении x к бесконечности и минус бесконечности функция стремится к бесконечности.

Итог:

• Вертикальная асимптота: x = 0.
• Горизонтальных асимптот нет.