Как можно определить формулу общего члена для ряда, представленного последовательностью 1/4, 1/12, 1/36, 1/108 и так далее?

Алгебра 11 класс Темы последовательности и рядов определение формулы общий член последовательность ряд алгебра 11 класс дробные последовательности математическая формула алгебраические ряды Новый

Чтобы определить формулу общего члена для данной последовательности, давайте сначала проанализируем сами члены ряда: 1/4, 1/12, 1/36, 1/108.

Первым шагом будет поиск закономерности между членами последовательности. Для этого мы можем рассмотреть дроби и их знаменатели:

• 1/4 = 1/(2^2)
• 1/12 = 1/(3 * 2^2)
• 1/36 = 1/(6 * 6) = 1/(2 * 3 * 2 * 3)
• 1/108 = 1/(9 * 12) = 1/(3^3 * 4)

Теперь давайте посмотрим на числители и знаменатели:

• Числитель: 1 (все дроби имеют 1 в числителе)
• Знаменатель: 4, 12, 36, 108

Теперь попробуем найти, как меняются знаменатели. Обратим внимание на знаменатели:

• 4 = 2^2
• 12 = 3 * 2^2
• 36 = 6 * 6 = 2 * 3 * 2 * 3
• 108 = 9 * 12 = 3^3 * 4

Каждый знаменатель можно представить как произведение некоторых чисел. Давайте попробуем найти формулу для n-го члена последовательности. Обозначим n как номер члена последовательности, начиная с 1:

• n = 1: 1/4 = 1/(2^2)
• n = 2: 1/12 = 1/(3 * 2^2)
• n = 3: 1/36 = 1/(6 * 6)
• n = 4: 1/108 = 1/(9 * 12)

Теперь заметим, что знаменатель можно выразить через n:

• Знаменатель для n = 1: 2^2 = 4
• Знаменатель для n = 2: 3 * 4 = 12
• Знаменатель для n = 3: 6 * 6 = 36
• Знаменатель для n = 4: 9 * 12 = 108

Каждый знаменатель можно выразить через n как:

• Знаменатель = n^2 * 2^(n-1)

Таким образом, мы можем записать формулу для n-го члена последовательности:

a_n = 1 / (n^2 * 2^(n-1))

Теперь у нас есть формула общего члена данной последовательности. Вы можете проверить, подставив значения n = 1, 2, 3 и 4, и убедиться, что полученные значения совпадают с исходными членами последовательности.