Чтобы решить уравнение ( (p+6) / (2p) )^2 + ( (2p) / (p+6) )^2 - 2 = 0, мы можем воспользоваться некоторыми алгебраическими преобразованиями. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Обозначим x = (p + 6) / (2p). Тогда (2p) / (p + 6) = 1/x. Это позволяет переписать наше уравнение в более простом виде:

• (x)^2 + (1/x)^2 - 2 = 0

2. Теперь давайте упростим выражение (1/x)^2. Мы знаем, что (1/x)^2 = 1/x^2. Таким образом, уравнение становится:

• x^2 + 1/x^2 - 2 = 0

3. Умножим все уравнение на x^2, чтобы избавиться от дробей:

• x^4 - 2x^2 + 1 = 0

4. Теперь мы видим, что это квадратное уравнение относительно x^2. Давайте сделаем замену y = x^2. Тогда уравнение примет вид:

• y^2 - 2y + 1 = 0

5. Это уравнение можно решить с помощью формулы для квадратного уравнения или заметив, что оно является полным квадратом:

• (y - 1)^2 = 0

6. Таким образом, мы получаем y - 1 = 0, что дает y = 1.

7. Вспоминаем, что y = x^2, значит:

• x^2 = 1

8. Теперь находим x:

• x = 1
• x = -1

9. Вернемся к нашему первоначальному определению x = (p + 6) / (2p). Теперь решим два случая:

Случай 1: x = 1

• (p + 6) / (2p) = 1
• p + 6 = 2p
• 6 = p

Случай 2: x = -1

• (p + 6) / (2p) = -1
• p + 6 = -2p
• 3p + 6 = 0
• 3p = -6
• p = -2

10. Таким образом, мы нашли два корня уравнения:

• p = 6
• p = -2

Ответ: корни уравнения - это p = 6 и p = -2.