Для решения задачи начнем с уравнения:

1/p^2 = 1/q^2 + 1/r^2

Наша цель - определить максимальное значение 1/p^2 при условии, что p, q и r - натуральные числа.

Перепишем данное уравнение так, чтобы выразить p через q и r:

1/p^2 = 1/q^2 + 1/r^2

Объединим дроби справа:

1/p^2 = (r^2 + q^2) / (q^2 * r^2)

Теперь, чтобы найти p, возьмем обратное значение:

p^2 = (q^2 * r^2) / (q^2 + r^2)

Следовательно:

p = sqrt((q^2 * r^2) / (q^2 + r^2))

Теперь, чтобы максимизировать 1/p^2, нам нужно минимизировать выражение q^2 + r^2 при фиксированных q и r. Поскольку p, q и r - натуральные числа, давайте рассмотрим несколько случаев:

• Если q = 1 и r = 1, то:
• p^2 = (1^2 * 1^2) / (1^2 + 1^2) = 1/2,
• p = 1/sqrt(2), что не является натуральным числом.
• Если q = 1 и r = 2, то:
• p^2 = (1^2 * 2^2) / (1^2 + 2^2) = 4/5,
• p = 2/sqrt(5), что также не является натуральным числом.
• Если q = 2 и r = 2, то:
• p^2 = (2^2 * 2^2) / (2^2 + 2^2) = 4.
• Тогда p = 2, и 1/p^2 = 1/4.

Таким образом, давайте проверим другие комбинации натуральных чисел:

• Если q = 2 и r = 3, то:
• p^2 = (2^2 * 3^2) / (2^2 + 3^2) = 36/13,
• p = sqrt(36/13), что не является натуральным числом.
• Если q = 3 и r = 3, то:
• p^2 = (3^2 * 3^2) / (3^2 + 3^2) = 9.
• Тогда p = 3, и 1/p^2 = 1/9.

Мы видим, что с увеличением q и r значение p также увеличивается, но 1/p^2 уменьшается. Таким образом, максимальное значение 1/p^2, которое мы нашли, равно 1/4 при q = 2 и r = 2.

Ответ: Максимальное значение 1/p^2 равно 1/4, когда p = 2, q = 2, r = 2.