Как можно определить общее решение уравнения y'' + 3y' + 2y = 0? Пожалуйста, помогите с решением, время поджимает!

Алгебра 11 класс Дифференциальные уравнения второго порядка общее решение уравнения решение дифференциального уравнения y'' + 3y' + 2y = 0 алгебра 11 класс методы решения уравнений Новый

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как y'' + 3y' + 2y = 0, мы можем следовать следующим шагам:

1. Записать характеристическое уравнение. Для данного уравнения мы можем записать характеристическое уравнение, заменив производные на переменные:

r^2 + 3r + 2 = 0

2. Решить характеристическое уравнение. Для этого мы можем использовать формулу для корней квадратного уравнения:

r = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = 3, c = 2.

3. Подставить значения a, b и c в формулу:

r = (-3 ± √(3² - 4 * 1 * 2)) / (2 * 1)

r = (-3 ± √(9 - 8)) / 2

r = (-3 ± √1) / 2

r = (-3 ± 1) / 2

4. Найти корни:
• Первый корень: r₁ = (-3 + 1) / 2 = -2
• Второй корень: r₂ = (-3 - 1) / 2 = -2
5. Записать общее решение. Поскольку у нас есть два одинаковых корня (r₁ = r₂ = -2), общее решение будет иметь вид:

y(t) = C₁ * e^(-2t) + C₂ * t * e^(-2t)

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями.

Таким образом, общее решение уравнения y'' + 3y' + 2y = 0 имеет вид:

y(t) = C₁ * e^(-2t) + C₂ * t * e^(-2t)