Как можно определить площадь сечения для уравнений y=2x^2-4x+5 и y=-2x+17?

Алгебра 11 класс Площадь сечения кривых площадь сечения уравнения алгебра 11 класс y=2x^2-4x+5 y=-2x+17 решение задач графики функций Новый

Чтобы определить площадь сечения между двумя кривыми, заданными уравнениями y=2x^2-4x+5 и y=-2x+17, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения кривых.

Для этого приравняем уравнения друг к другу:

2x^2 - 4x + 5 = -2x + 17

Переносим все члены в одну сторону:

2x^2 - 4x + 2x + 5 - 17 = 0

Упрощаем уравнение:

2x^2 - 2x - 12 = 0

Теперь делим все на 2:

x^2 - x - 6 = 0

Решаем это квадратное уравнение, используя формулу корней:

x = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a=1, b=-1, c=-6.

Подставляем значения:

x = (1 ± √(1 + 24)) / 2 = (1 ± √25) / 2 = (1 ± 5) / 2.

Таким образом, получаем два корня:

• x1 = 3
• x2 = -2

Точки пересечения находятся в x = 3 и x = -2.

2. Найти площадь сечения.

Для нахождения площади сечения между кривыми, нужно вычислить интеграл от разности функций на интервале от x1 до x2:

Площадь = ∫ от -2 до 3 (верхняя функция - нижняя функция) dx.

Определим, какая функция выше на данном интервале:

Для этого можно подставить, например, x = 0:

y1 = 2(0)^2 - 4(0) + 5 = 5

y2 = -2(0) + 17 = 17

На x = 0, y2 > y1, следовательно, на интервале от -2 до 3, функция y = -2x + 17 выше функции y = 2x^2 - 4x + 5.

Теперь можем записать интеграл:

Площадь = ∫ от -2 до 3 ( (-2x + 17) - (2x^2 - 4x + 5) ) dx.

Упрощаем подынтегральное выражение:

Площадь = ∫ от -2 до 3 ( -2x + 17 - 2x^2 + 4x - 5 ) dx = ∫ от -2 до 3 ( -2x^2 + 2x + 12 ) dx.

3. Вычислить интеграл.

Теперь найдем интеграл:

∫ (-2x^2 + 2x + 12) dx = (-2/3)x^3 + x^2 + 12x.

Теперь подставляем пределы интегрирования от -2 до 3:

Площадь = [(-2/3)(3)^3 + (3)^2 + 12(3)] - [(-2/3)(-2)^3 + (-2)^2 + 12(-2)].

Вычисляем:

Площадь = [(-2/3)(27) + 9 + 36] - [(-2/3)(-8) + 4 - 24].

Площадь = [-18 + 9 + 36] - [(16/3) + 4 - 24].

Площадь = [27] - [(16/3) - 20].

Площадь = 27 - (16/3 - 60/3) = 27 - (-44/3) = 27 + 44/3 = 81/3 + 44/3 = 125/3.

4. Ответ.

Таким образом, площадь сечения между заданными кривыми равна 125/3.