Как можно определить полный дифференциал функции z, которая представлена в виде z = tg(x/y)?

Алгебра 11 класс Полный дифференциал функции нескольких переменных полный дифференциал функция z tg(x/y) алгебра 11 класс производная функции частные производные математический анализ Новый

Чтобы определить полный дифференциал функции z, представленной в виде z = tg(x/y), необходимо следовать нескольким шагам. Давайте разберем процесс по порядку.

Шаг 1: Определение функции

У нас есть функция z, зависящая от переменных x и y:

z = tg(x/y)

Шаг 2: Применение формулы полного дифференциала

Полный дифференциал функции z можно записать в виде:

dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy

Где ∂z/∂x и ∂z/∂y - это частные производные функции z по переменным x и y соответственно.

Шаг 3: Нахождение частных производных

• Частная производная ∂z/∂x:

Для нахождения этой производной используем правило дифференцирования сложной функции. Сначала найдем производную от tg(u), где u = x/y.

∂z/∂x = (1/cos²(u)) * (∂u/∂x), где u = x/y.

Теперь найдем ∂u/∂x:

u = x/y, следовательно, ∂u/∂x = 1/y.

Теперь подставим это значение:

∂z/∂x = (1/cos²(x/y)) * (1/y) = (1/y) * (1/cos²(x/y)) = (1/y) * (sec²(x/y)).

• Частная производная ∂z/∂y:

Теперь найдем частную производную z по y. Используем аналогичный подход:

∂z/∂y = (1/cos²(u)) * (∂u/∂y).

Здесь ∂u/∂y = -x/y² (поскольку мы используем правило деления).

Таким образом:

∂z/∂y = (1/cos²(x/y)) * (-x/y²) = - (x/y²) * (sec²(x/y)).

Шаг 4: Запись полного дифференциала

Теперь, когда мы нашли обе частные производные, можем записать полный дифференциал:

dz = (1/y) * sec²(x/y) * dx - (x/y²) * sec²(x/y) * dy.

Итог:

Полный дифференциал функции z = tg(x/y) будет равен:

dz = (1/y) * sec²(x/y) * dx - (x/y²) * sec²(x/y) * dy.

Таким образом, мы получили полный дифференциал функции z, который можно использовать для дальнейших расчетов и анализа.