Как можно определить промежутки убывания функции f(x) = 2x³ - 9x² - 24x?

В треугольнике ABC, где AC = BC = 13 и sinA = 12/13, каким образом найти длину стороны AB?

Какой объем имеет прямоугольный параллелепипед, описанный около цилиндра с радиусом основания 4 и высотой 5?

Как решить неравенство log( x² - 14x) ≥ -5 с основанием 1/2?

Как решить систему уравнений: x - 1/y = 2/3 и x² + 1/y² = 10/9?

Алгебра 11 класс 1. Производная и анализ функций 2. Геометрия 3. Геометрия 4. Логарифмические неравенства 5. Системы уравнений промежутки убывания функции определение промежутков алгебра 11 класс функция f(x) треугольник ABC длина стороны AB объем параллелепипеда цилиндр радиус 4 высота 5 решение неравенства логарифмическое неравенство система уравнений решение системы алгебраические уравнения математический анализ Новый

Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Определение промежутков убывания функции f(x) = 2x³ - 9x² - 24x:

1. Сначала найдем производную функции f(x). Производная f'(x) = 6x² - 18x - 24.
2. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 6x² - 18x - 24 = 0.
3. Решим это уравнение, используя дискриминант: D = (-18)² - 4 * 6 * (-24) = 324 + 576 = 900.
4. Корни уравнения: x₁ = (18 + 30) / 12 = 4, x₂ = (18 - 30) / 12 = -1.
5. Теперь определим знаки производной на промежутках (-∞, -1), (-1, 4), (4, +∞).
6. Выбираем тестовые точки: например, x = -2, x = 0 и x = 5.
7. f'(-2) > 0, f'(0) < 0, f'(5) > 0. Следовательно, функция убывает на промежутке (-1, 4).

2. Нахождение длины стороны AB в треугольнике ABC:

1. Используем теорему синусов: AB / sinA = AC / sinB = BC / sinC.
2. Сначала найдем угол B. Известно, что sinA = 12/13, значит, cosA = 5/13 (по теореме Пифагора).
3. С помощью закона косинусов найдем стороны: AB² = AC² + BC² - 2 * AC * BC * cosA.
4. Подставляем значения: AB² = 13² + 13² - 2 * 13 * 13 * 5/13 = 169 + 169 - 130 = 208.
5. Таким образом, AB = √208 = 4√13.

3. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около цилиндра:

1. Для цилиндра с радиусом r = 4 и высотой h = 5, объем V = πr²h.
2. Объем цилиндра: V = π * 4² * 5 = 80π.
3. Объем параллелепипеда, описанного около цилиндра, равен V = 2 * r * 2 * h = 2 * 4 * 2 * 5 = 80.

4. Решение неравенства log( x² - 14x) ≥ -5 с основанием 1/2:

1. Сначала преобразуем неравенство: x² - 14x ≤ (1/2)⁻⁵ = 32.
2. Преобразуем его в стандартный вид: x² - 14x - 32 ≤ 0.
3. Находим корни уравнения x² - 14x - 32 = 0, используя дискриминант: D = 14² + 4 * 32 = 196 + 128 = 324.
4. Корни: x₁ = (14 + 18) / 2 = 16, x₂ = (14 - 18) / 2 = -2.
5. Теперь определяем промежутки: (-∞, -2), (-2, 16), (16, +∞). Проверяем знаки на промежутках.
6. Функция убывает на промежутке (-2, 16), значит, неравенство выполняется на этом промежутке.

5. Решение системы уравнений:

1. Перепишем первое уравнение: x = 2/3 + 1/y.
2. Подставим x во второе уравнение: (2/3 + 1/y)² + 1/y² = 10/9.
3. Раскроем скобки и упростим уравнение: (4/9 + 4/(3y) + 1/y²) + 1/y² = 10/9.
4. Соберем все в одну сторону: 4/9 + 4/(3y) + 2/y² - 10/9 = 0.
5. Умножим на 9y² для устранения дробей: 4y² + 12y + 2 - 10y² = 0.
6. Упрощаем: -6y² + 12y + 2 = 0. Решаем это уравнение с помощью дискриминанта.
7. Получим корни и подставим их обратно в первое уравнение для нахождения x.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше деталей по какому-то из пунктов, пожалуйста, дайте знать!