Как можно определить промежутки знакопостоянства для данных квадратичных функций:

1. y = 3x² - 15x - 1
2. y = 5x² - 24x - 1
3. y = 5x² - 4x - 1
4. y = -x² - 1
5. y = (5-x)(x+1)

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ! СРОЧНО!!

Алгебра 11 класс Промежутки знакопостоянства квадратичных функций промежутки знакопостоянства квадратичные функции алгебра 11 класс определение промежутков решение задач по алгебре Новый

Чтобы определить промежутки знакопостоянства для квадратичных функций, нам нужно следовать нескольким шагам:

1. Найти корни функции: Для этого мы можем использовать дискриминант или факторизацию, если это возможно.
2. Построить таблицу знаков: Определить, на каких промежутках функция положительна, а на каких отрицательна, основываясь на корнях и знаке коэффициента при x².

Теперь давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности:

1. y = 3x² - 15x - 1

• Находим дискриминант: D = b² - 4ac = (-15)² - 4*3*(-1) = 225 + 12 = 237.
• Корни: x₁ = (15 + √237) / 6, x₂ = (15 - √237) / 6.
• Так как коэффициент при x² положителен (3), то парабола открыта вверх. Следовательно, функция будет отрицательной между корнями и положительной вне их.

2. y = 5x² - 24x - 1

• D = (-24)² - 4*5*(-1) = 576 + 20 = 596.
• Корни: x₁ = (24 + √596) / 10, x₂ = (24 - √596) / 10.
• Коэффициент при x² положителен (5), значит, функция отрицательна между корнями и положительна вне их.

3. y = 5x² - 4x - 1

• D = (-4)² - 4*5*(-1) = 16 + 20 = 36.
• Корни: x₁ = (4 + √36) / 10, x₂ = (4 - √36) / 10.
• Коэффициент при x² положителен (5), следовательно, функция будет отрицательной между корнями и положительной вне их.

4. y = -x² - 1

• Это убывающая парабола, у которой нет корней (D < 0).
• Функция всегда отрицательна, так как коэффициент при x² отрицателен.

5. y = (5 - x)(x + 1)

• Находим корни: 5 - x = 0 (x = 5) и x + 1 = 0 (x = -1).
• Коэффициент при x² (в разложенной форме) отрицателен, так как (5 - x) и (x + 1) - это произведение двух линейных функций.
• Функция будет положительной вне промежутка между корнями и отрицательной между ними.

Теперь, когда мы нашли корни и определили знаки функций, можем записать промежутки знакопостоянства:

• y = 3x² - 15x - 1: (-∞, x₁) U (x₂, +∞)
• y = 5x² - 24x - 1: (-∞, x₁) U (x₂, +∞)
• y = 5x² - 4x - 1: (-∞, x₁) U (x₂, +∞)
• y = -x² - 1: (-∞, +∞) (всегда отрицательная)
• y = (5 - x)(x + 1): (-∞, -1) U (5, +∞)

Таким образом, мы определили промежутки знакопостоянства для всех данных функций.