Как можно определить уравнение касательной к графику функции f(x) = квадратный корень из х, если эта касательная должна быть параллельна прямой, заданной уравнением y = x - 5? Буду признателен за объяснение! Ответ: x + 1/4. Заранее спасибо!

Алгебра 11 класс Уравнения касательных и производные функций Уравнение касательной график функции параллельная прямая f(x) = √x y = x - 5 алгебра 11 класс определение касательной математическое объяснение Новый

Чтобы определить уравнение касательной к графику функции f(x) = √x, которая параллельна прямой, заданной уравнением y = x - 5, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение углового коэффициента

Сначала найдем угловой коэффициент прямой y = x - 5. Угловой коэффициент этой прямой равен 1, так как уравнение имеет вид y = mx + b, где m - угловой коэффициент.

Шаг 2: Нахождение производной функции

Теперь найдем производную функции f(x) = √x, так как производная в точке даст нам угловой коэффициент касательной в этой точке. Производная функции f(x) равна:

f'(x) = 1/(2√x).

Шаг 3: Установка равенства угловых коэффициентов

Чтобы касательная была параллельна прямой y = x - 5, угловой коэффициент касательной должен быть равен 1. Поэтому мы устанавливаем равенство:

1/(2√x) = 1.

Шаг 4: Решение уравнения

1. Умножим обе стороны на 2√x:
2. 1 = 2√x.
3. Теперь разделим обе стороны на 2:
4. √x = 1/2.
5. Теперь возведем обе стороны в квадрат:
6. x = (1/2)² = 1/4.

Шаг 5: Нахождение координат точки касания

Теперь, когда мы нашли x = 1/4, найдем соответствующее значение функции f(x):

f(1/4) = √(1/4) = 1/2.

Таким образом, точка касания имеет координаты (1/4, 1/2).

Шаг 6: Уравнение касательной

Теперь мы можем написать уравнение касательной. Используя точку (1/4, 1/2) и угловой коэффициент 1, уравнение касательной в точке (x₀, y₀) записывается как:

y - y₀ = m(x - x₀),

где m - угловой коэффициент, который равен 1. Подставляем значения:

y - 1/2 = 1(x - 1/4).

Упрощаем уравнение:

y - 1/2 = x - 1/4.

y = x - 1/4 + 1/2.

y = x + 1/4.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = √x, которая параллельна прямой y = x - 5, имеет вид:

y = x + 1/4.