Чтобы найти все первообразные функции для данной функции f(x) = x^3 - x^2 - sin(3x), нам нужно выполнить интегрирование этой функции. Прежде всего, давайте разберем функцию на отдельные части:

• x^3
• -x^2
• -sin(3x)

Теперь мы будем интегрировать каждую из этих частей по отдельности.

1. Интегрирование x^3:

Для интегрирования x^3 используем правило интегрирования степени:

∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

В нашем случае n = 3:

∫x^3 dx = (x^(3+1))/(3+1) = x^4/4.

2. Интегрирование -x^2:

Аналогично, для -x^2:

∫-x^2 dx = - (x^(2+1))/(2+1) = -x^3/3.

3. Интегрирование -sin(3x):

Для интегрирования -sin(3x) используем правило интегрирования тригонометрических функций:

∫sin(kx) dx = - (1/k) cos(kx) + C, где k - коэффициент перед x.

В нашем случае k = 3:

∫-sin(3x) dx = -(-1/3) cos(3x) = (1/3) cos(3x).

Теперь, объединив все результаты, мы получаем:

∫f(x) dx = ∫(x^3 - x^2 - sin(3x)) dx = x^4/4 - x^3/3 + (1/3) cos(3x) + C,

где C - произвольная постоянная, которая добавляется при интегрировании.

Таким образом, все первообразные функции для f(x) = x^3 - x^2 - sin(3x) имеют вид:

F(x) = x^4/4 - x^3/3 + (1/3) cos(3x) + C.