Как можно определить все рациональные корни уравнения x^4–5x^3–6x^2+7x–2 = 0 или подтвердить, что их нет?

Алгебра 11 класс Рациональные корни многочлена рациональные корни уравнение алгебра 11 класс x^4–5x^3–6x^2+7x–2=0 определение корней Новый

Для нахождения всех рациональных корней уравнения x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 7x - 2 = 0 мы можем воспользоваться теоремой о рациональных корнях. Эта теорема утверждает, что если у многочлена есть рациональный корень, то он может быть представлен в виде p/q, где p - делители свободного члена, а q - делители ведущего коэффициента.

Теперь давайте рассмотрим наш многочлен:

• Свободный член: -2
• Ведущий коэффициент: 1

Теперь найдем делители этих чисел:

• Делители -2: ±1, ±2
• Делители 1: ±1

Теперь составим список возможных рациональных корней, используя делители:

• Возможные рациональные корни: ±1, ±2

Следующий шаг - подставить каждый из этих возможных корней в уравнение и проверить, является ли он корнем.

1. Подставим x = 1:

1^4 - 5*1^3 - 6*1^2 + 7*1 - 2 = 1 - 5 - 6 + 7 - 2 = -5 (не корень)

2. Подставим x = -1:

(-1)^4 - 5*(-1)^3 - 6*(-1)^2 + 7*(-1) - 2 = 1 + 5 - 6 - 7 - 2 = -9 (не корень)

3. Подставим x = 2:

2^4 - 5*2^3 - 6*2^2 + 7*2 - 2 = 16 - 40 - 24 + 14 - 2 = -36 (не корень)

4. Подставим x = -2:

(-2)^4 - 5*(-2)^3 - 6*(-2)^2 + 7*(-2) - 2 = 16 + 40 - 24 - 14 - 2 = 16 (не корень)

Мы проверили все возможные рациональные корни и выяснили, что ни один из них не является корнем уравнения. Следовательно, у данного уравнения нет рациональных корней.

Таким образом, мы подтвердили, что уравнение x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 7x - 2 = 0 не имеет рациональных корней.