Как можно представить число 78 в виде суммы трех положительных чисел, чтобы два из них были пропорциональны числам 1 и 3, и чтобы сумма квадратов этих трех чисел была минимальной?

Алгебра 11 класс Оптимизация и системы уравнений число 78 сумма трех положительных чисел пропорциональные числа сумма квадратов минимальная сумма квадратов алгебра 11 класс задачи по алгебре оптимизация суммы квадратов Новый

Для решения данной задачи начнем с обозначения трех положительных чисел, которые мы хотим найти. Пусть:

• x - первое число,
• y - второе число,
• z - третье число.

Согласно условиям задачи, мы знаем, что:

• x + y + z = 78,
• y = 3k и x = k, где k - некоторое положительное число (так как y и x пропорциональны 1 и 3).

Теперь подставим выражения для x и y в первое уравнение:

1. Подстановка значений:

k + 3k + z = 78.

Это упростится до:

4k + z = 78.

Следовательно, мы можем выразить z через k:

z = 78 - 4k.

2. Теперь найдем сумму квадратов:

Сумма квадратов этих чисел будет равна:

S = x^2 + y^2 + z^2 = k^2 + (3k)^2 + (78 - 4k)^2.

Раскроем скобки:

• k^2 + 9k^2 + (78 - 4k)^2 = k^2 + 9k^2 + (78^2 - 2*78*4k + 16k^2).

Таким образом:

S = 10k^2 + (78^2 - 624k + 16k^2) = 26k^2 - 624k + 6084.

3. Найдем минимум функции S:

Это квадратный трёхчлен, и его минимум будет находиться в вершине параболы. Вершина квадратного трёхчлена ax^2 + bx + c находится по формуле:

k = -b/(2a).

В нашем случае a = 26, b = -624. Подставим значения:

k = -(-624)/(2*26) = 624/(52) = 12.

4. Находим значения x, y и z:

Теперь подставим значение k обратно, чтобы найти x, y и z:

• x = k = 12,
• y = 3k = 3*12 = 36,
• z = 78 - 4k = 78 - 48 = 30.

5. Проверка:

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные числа условиям:

• Сумма: 12 + 36 + 30 = 78 (всё верно).
• Пропорциональность: x:y = 12:36 = 1:3 (всё верно).

Таким образом, числа 12, 36 и 30 представляют число 78 в соответствии с заданными условиями, и сумма квадратов этих чисел минимальна.

Ответ: 12, 36 и 30.