Как можно представить комплексное число z=2-5i в тригонометрическом формате?

Алгебра 11 класс Тригонометрическая форма комплексных чисел комплексное число тригонометрический формат алгебра 11 представление комплексного числа z=2-5i Новый

Чтобы представить комплексное число z = 2 - 5i в тригонометрическом формате, нам нужно выполнить несколько шагов. Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:

z = r (cos φ + i sin φ)

где r - модуль комплексного числа, а φ - аргумент (угол) комплексного числа. Давайте последовательно найдем r и φ.

1. Находим модуль r:

Модуль комплексного числа z = a + bi вычисляется по формуле:

r = √(a² + b²)

В нашем случае a = 2 и b = -5. Подставим эти значения в формулу:

• r = √(2² + (-5)²)
• r = √(4 + 25)
• r = √29

Таким образом, модуль r = √29.

2. Находим аргумент φ:

Аргумент φ можно найти с помощью арктангенса:

φ = arctan(b/a)

В нашем случае:

• φ = arctan(-5/2)

Так как комплексное число находится в четвертой четверти (a > 0, b < 0), то значение угла φ будет отрицательным. Вычислим φ:

• φ ≈ -1.190 (в радианах)

Если мы хотим представить угол в диапазоне от 0 до 2π, то добавим 2π:

• φ ≈ -1.190 + 2π ≈ 5.093 (в радианах)
3. Записываем комплексное число в тригонометрической форме:

Теперь, когда мы нашли r и φ, можем записать z в тригонометрической форме:

z = √29 (cos(5.093) + i sin(5.093))

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = 2 - 5i будет:

z = √29 (cos(5.093) + i sin(5.093))