Как можно преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму и решить данные уравнения?

Алгебра 11 класс Преобразование тригонометрических функций преобразование тригонометрических функций произведение в сумму решение тригонометрических уравнений Новый

Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму можно выполнить с помощью тригонометрических формул, называемых формулами приведения. Эти формулы позволяют упростить выражения и решить уравнения. Рассмотрим несколько основных формул:

• Синус произведения: sin(a) * sin(b) = 1/2 [cos(a - b) - cos(a + b)]
• Косинус произведения: cos(a) * cos(b) = 1/2 [cos(a - b) + cos(a + b)]
• Синус и косинус: sin(a) * cos(b) = 1/2 [sin(a + b) + sin(a - b)]

Теперь давайте рассмотрим, как использовать эти формулы на практике для решения уравнений. Например, решим уравнение:

Уравнение: sin(x) * sin(2x) = 0

Шаг 1: Применим формулу для синуса произведения:

sin(x) * sin(2x) = 1/2 [cos(x - 2x) - cos(x + 2x)] = 1/2 [cos(-x) - cos(3x)] = 1/2 [cos(x) - cos(3x)]

Теперь уравнение выглядит так:

1/2 [cos(x) - cos(3x)] = 0

Шаг 2: Умножим обе стороны на 2:

cos(x) - cos(3x) = 0

Шаг 3: Переносим cos(3x) на правую сторону:

cos(x) = cos(3x)

Шаг 4: Теперь используем свойство, что cos(a) = cos(b) имеет решения:

• a = b + 2kπ, k ∈ Z
• a = -b + 2kπ, k ∈ Z

Таким образом, у нас есть два случая:

1. 1) x = 3x + 2kπ
2. 2) x = -3x + 2kπ

Решим первый случай:

2x = 2kπ

x = kπ

Решим второй случай:

4x = 2kπ

x = (k/2)π

Таким образом, мы получили общее решение уравнения sin(x) * sin(2x) = 0:

x = kπ и x = (k/2)π, где k ∈ Z.

Этот процесс можно применять к другим уравнениям, используя соответствующие формулы преобразования тригонометрических функций. Главное — правильно выбрать формулу в зависимости от вида тригонометрических функций в уравнении.