Как можно проверить сходимость числового ряда 2/3 + 4/9 + 6/27 + 8/81 + ... с помощью признака Даламбера?

Алгебра 11 класс Сходимость числовых рядов сходимость числового ряда признак Даламбера алгебра 11 класс проверка сходимости ряда числовые ряды методы проверки сходимости Новый

Чтобы проверить сходимость числового ряда 2/3 + 4/9 + 6/27 + 8/81 + ... с помощью признака Даламбера, нам нужно выполнить несколько шагов. Признак Даламбера основан на анализе предела отношения последовательных членов ряда.

Рассмотрим данный ряд. Первым делом обозначим его члены:

• a₁ = 2/3
• a₂ = 4/9
• a₃ = 6/27
• a₄ = 8/81
• и так далее.

Теперь заметим, что члены ряда можно записать в общем виде. Мы можем заметить, что:

• a_n = (2n)/(3^n), где n = 1, 2, 3, ...

Теперь мы можем найти отношение последовательных членов ряда:

• Рассмотрим отношение a_n+1 / a_n:

Подставим значения:

• a_n+1 = (2(n+1))/(3^(n+1)) = (2n + 2)/(3 * 3^n)
• a_n = (2n)/(3^n)

Теперь найдем отношение:

• a_n+1 / a_n = [(2n + 2)/(3 * 3^n)] / [(2n)/(3^n)] = (2n + 2) / (2n * 3)

Упростим это выражение:

• a_n+1 / a_n = (2n + 2) / (6n) = 1/3 + 1/n

Теперь найдем предел этого отношения при n стремящемся к бесконечности:

• lim (n -> ∞) (1/3 + 1/n) = 1/3 + 0 = 1/3

Так как предел отношения равен 1/3, что меньше 1, мы можем сделать вывод:

• По признаку Даламбера ряд сходится.

Таким образом, мы подтвердили сходимость ряда 2/3 + 4/9 + 6/27 + 8/81 + ... с помощью признака Даламбера.