Чтобы проверить сходимость числового ряда 2/3 + 4/9 + 6/27 + 8/81 + ... с помощью признака Даламбера, нам нужно выполнить несколько шагов. Признак Даламбера основан на анализе предела отношения последовательных членов ряда.

Рассмотрим данный ряд. Первым делом обозначим его члены:

• a₁ = 2/3
• a₂ = 4/9
• a₃ = 6/27
• a₄ = 8/81
• и так далее.

Теперь заметим, что члены ряда можно записать в общем виде. Мы можем заметить, что:

• a_n = (2n)/(3^n),где n = 1, 2, 3, ...

Теперь мы можем найти отношение последовательных членов ряда:

• Рассмотрим отношение a_n+1 / a_n:

Подставим значения:

• a_n+1 = (2(n+1))/(3^(n+1)) = (2n + 2)/(3 * 3^n)
• a_n = (2n)/(3^n)

Теперь найдем отношение:

• a_n+1 / a_n = [(2n + 2)/(3 * 3^n)] / [(2n)/(3^n)] = (2n + 2) / (2n * 3)

Упростим это выражение:

• a_n+1 / a_n = (2n + 2) / (6n) = 1/3 + 1/n

Теперь найдем предел этого отношения при n стремящемся к бесконечности:

• lim (n -> ∞) (1/3 + 1/n) = 1/3 + 0 = 1/3

Так как предел отношения равен 1/3, что меньше 1, мы можем сделать вывод:

• По признаку Даламбера ряд сходится.

Таким образом, мы подтвердили сходимость ряда 2/3 + 4/9 + 6/27 + 8/81 + ... с помощью признака Даламбера.