Как можно решить интеграл ∫dx/(x^2+9)^3, если это рациональная дробь 4 вида?

Алгебра 11 класс Интегралы рациональных дробей интеграл решение интеграла рациональная дробь алгебра 11 класс методы интегрирования Новый

Для решения интеграла ∫dx/(x² + 9)³, который является рациональной дробью 4-го вида, мы можем использовать метод частичных дробей. Однако, в данном случае, проще будет воспользоваться заменой переменной и интегрированием по частям.

Шаг 1: Замена переменной

Заменим переменную. Пусть x = 3tan(θ). Тогда dx = 3sec²(θ)dθ и x² + 9 = 9sec²(θ).

Шаг 2: Подставляем в интеграл

Теперь подставим это в интеграл:

• ∫dx/(x² + 9)³ = ∫(3sec²(θ)dθ)/(9sec²(θ))³
• Это упрощается до ∫(3sec²(θ)dθ)/(729sec⁶(θ)) = (1/243)∫sec⁴(θ)dθ.

Шаг 3: Интегрируем sec⁴(θ)

Теперь нам нужно интегрировать sec⁴(θ). Мы можем использовать формулу:

• ∫sec⁴(θ)dθ = (1/3)sec²(θ)tan(θ) + (2/3)θ + C.

Подставляем это в наш интеграл:

• (1/243) * [(1/3)sec²(θ)tan(θ) + (2/3)θ] + C.

Шаг 4: Возвращаемся к переменной x

Теперь нужно вернуть переменные обратно в x. Мы знаем, что:

• sec(θ) = √(x² + 9)/3
• tan(θ) = x/3.

Таким образом, подставляем обратно:

• sec²(θ) = (x² + 9)/9
• tan(θ) = x/3.

Теперь подставляем все это в интеграл:

• (1/243) * [(1/3)((x² + 9)/9)(x/3) + (2/3)arctan(x/3)] + C.

Шаг 5: Упрощаем ответ

После упрощения, мы получаем окончательный ответ для интеграла:

• (1/729)(x² + 9)(x) + (2/729)arctan(x/3) + C.

Таким образом, интеграл ∫dx/(x² + 9)³ равен (1/729)(x² + 9)(x) + (2/729)arctan(x/3) + C.