Как можно решить квадратное тригонометрическое неравенство 2cos²x - 3cosx - 2 > 0? Пожалуйста, помогите!

Алгебра 11 класс Квадратные неравенства квадратное тригонометрическое неравенство решение неравенства 2cos²x - 3cosx - 2 > 0 алгебра 11 класс методы решения неравенств Новый

Решение квадратного тригонометрического неравенства 2cos²x - 3cosx - 2 > 0 можно разбить на несколько шагов. Давайте рассмотрим их подробно.

Шаг 1: Замена переменной

Для удобства решения мы введем замену переменной. Пусть:

y = cosx

Тогда неравенство принимает вид:

2y² - 3y - 2 > 0

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

2y² - 3y - 2 = 0

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Подставляем значения:

• a = 2
• b = -3
• c = -2

Теперь вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25

Корни будут:

• y₁ = (3 + √25) / (2 * 2) = (3 + 5) / 4 = 2
• y₂ = (3 - √25) / (2 * 2) = (3 - 5) / 4 = -0.5

Шаг 3: Анализ знаков

Теперь мы имеем корни y₁ = 2 и y₂ = -0.5. На числовой оси отметим эти корни:

Теперь необходимо определить, где выражение 2y² - 3y - 2 > 0. Для этого исследуем знаки на интервалах:

• (-∞, -0.5)
• (-0.5, 2)
• (2, +∞)

Выбираем тестовые точки:

• Для интервала (-∞, -0.5): y = -1 → 2(-1)² - 3(-1) - 2 = 2 + 3 - 2 = 3 (положительно)
• Для интервала (-0.5, 2): y = 0 → 2(0)² - 3(0) - 2 = -2 (отрицательно)
• Для интервала (2, +∞): y = 3 → 2(3)² - 3(3) - 2 = 18 - 9 - 2 = 7 (положительно)

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:

• y < -0.5
• y > 2

Шаг 4: Возвращаемся к cosx

Теперь вернемся к переменной x. Мы имеем:

• cosx < -0.5
• cosx > 2 (это невозможно, так как cosx принимает значения только в диапазоне [-1, 1])

Решим неравенство cosx < -0.5:

Это неравенство выполняется в интервале:

• x ∈ (2π/3 + 2kπ, 4π/3 + 2kπ), где k – любое целое число.

Шаг 5: Записываем ответ

Таким образом, окончательный ответ для неравенства 2cos²x - 3cosx - 2 > 0 будет:

x ∈ (2π/3 + 2kπ, 4π/3 + 2kπ), где k – любое целое число.